第51期 三次函数的神奇之旅

这世上有两种人，一种人生命的目的，并不是为了存在，而是为了燃烧，而另一种人却永远只有看着别人燃烧，让别人的光芒来照耀自己，究竟那种人才是聪明人……

——古龙《那一剑的风情》

最高次数项为3的函数，形如y=ax³+bx²+cx+d（a≠0,b,c,d为常数）的函数叫做三次函数(cubic function)。 三次函数的图象是一条曲线——回归式抛物线（不同于普通抛物线）。

三次函数性态的五个要点

⒈三次函数y=f(x）在（-∞，+∞）上的极值点的个数

⒉三次函数y=f（x）的图象与x 轴交点个数

⒊单调性问题

⒋三次函数f（x）图象的切线条数

⒌融合三次函数和不等式，创设情境求参数的范围

⑴：如果y=f(x）的图像是中心对称图形，其对称中心是（-a1/n/a0,f(-a1/n/a0));

⑵：如果y=f(x)的图像是轴对称图形，其对称轴是x=-a1/n/a0.

求函数的零点可用盛金公式、范盛金判别法或传统解法（卡尔丹公式法）。

三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。我国数学家、高中教师范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。

1.盛金公式

一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0，（a,b,c,d∈R，且a≠0）

重根判别式

总判别式Δ=B2－4AC。

当A=B=0时；

当Δ=B2－4AC>0时；

其中，当Δ=B2－4AC=0时；

当Δ=B2－4AC<0时；

其中 ， （A>0，－1<T<1）。

2.盛金判别法

当A=B=0时，方程有一个三重实根。

当Δ=B2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根。

当Δ=B2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个二重根。

当Δ=B2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。

盛金公式的特点是由最简重根判别式A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd和总根的判别式Δ=B2－4AC来构成，体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美，简明易记、解题直观、准确高效，特别是当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式3：X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)，其表达式非常漂亮，不存在开方（此时的卡尔丹公式仍存在开立方），手算解题效率高。盛金公式3被称为超级简便的公式。盛金公式与判别法及定理形成了一套完整的、简明的、实用的、具有数学美的解三次方程的理论体系，范盛金创造出的这套万能的系统方法，对研究解高次方程问题及提高解三次方程的效率作出了贡献

最高次数项为3的函数，形如y=ax³+bx²+cx+d（a≠0,b,c,d为常数）的函数叫做三次函数(cubic function)。 三次函数的图象是一条曲线——回归式抛物线（不同于普通抛物线）。