博士论文奖得主司徒泉：与师友交流是我最快乐的事

2024年1月2日-5日，世界华人数学家联盟2023年会（ICCM 2023) 在上海举行。大会揭晓并颁发了2023年度世界华人数学家联盟最佳论文奖、博士论文奖、创意本科论文奖和若琳奖，以表彰杰出华人数学家，激励青年科学工作者在各自的研究领域奋力探索。

本刊有幸与多位荣获本年度世界华人数学家联盟奖项的论文作者深入交流。他们中既有国际知名学者、青年科学家，也有在读博士生、本科生。他们介绍了各自的研究成果，回顾科研路上的难忘瞬间，分享与同行合作、共克难题的经历，畅谈对数学等基础科学的热爱，以及对未来的展望。

ICCM 2023

ICCM 博士论文奖

ICCM Graduate Thesis Award （GTA)

Quan Situ 司徒泉

司徒泉，本科毕业于南开大学，现为清华大学丘成桐数学科学中心博士生。研究方向为几何表示论，主要研究兴趣为模表示理论。在世界华人数学家联盟2023年会中，他凭借论文“On the category O of a hybrid quantum group” 荣获 ICCM 2023博士论文奖。论文研究了由Gaitsgory提出的混合量子群在单位根处的表示理论，深入探讨了该量子群范畴O的基本性质，建立了该范畴O的中心和仿射旗流形的上同调之间的代数同构，并构造了该范畴O的本原块和Steinberg块与Springer消解上的某些等变凝聚层范畴的等价。这一研究成果为量子代数及其表示的复杂结构提供了新的研究思路。

注：Quan Situ, On the category O of a hybrid quantum group (2023).

论文原文：

https://arxiv.org/abs/2211.03130

https://arxiv.org/abs/2211.03139

https://arxiv.org/abs/2308.07028

 Q & A 

Q

请简要介绍自己的研究领域？对数学产生兴趣的缘起？ 

司徒泉：我的研究方向是几何表示论，这是用几何化或范畴化的手段去研究表示论问题的领域。我目前主要感兴趣的领域是模表示理论，具体是来自于李理论中的对象（例如李代数、代数群、Coxeter群等）在正特征域上的表示，以及这些对象的量子化（量子群，Hecke代数等）在单位根处的表示。

在中学阶段，我被数学的纯粹和自然所吸引，同时也发现这是自己更擅长的学科。在大学里接触到了更现代和前沿的数学后，我的兴趣愈发浓厚，希望自己能成为一名数学工作者。对表示论的兴趣缘起于我在南开大学读本科时，有幸学习朱富海教授的《有限群表示论》课程，在他生动的讲解里我感受到了这一理论的精巧和优美。

Q

 简要介绍这篇论文的主要内容？您认为这项研究最为重要的部分是什么？

司徒泉：我博士论文的大主题是量子群在单位根处的表示，具体而言，是研究hybrid量子群的满足特定条件的表示构成的范畴，称为“范畴O”。

论文包含以下三个主要结果：一是计算了该范畴的每个块的中心，证明其同构于相应仿射旗流形的奇异上同调环；二是构造了该范畴的Steinberg块与Springer消解上的等变凝聚层范畴的等价；三是利用非交换Springer消解，对该范畴的本原块给出凝聚层范畴的刻画。这些结果建立了量子群的范畴O与Springer消解和仿射旗流形等几何对象的联系。这可以帮助我们研究该范畴O更丰富和深刻的结构，比如该范畴的分次和Kazhdan-Lusztig多项式等。

Q

是什么启发您选择这项研究？

司徒泉：最初启发我研究量子群的范畴O的中心，是近年单芃老师及其合作者取得的一个突破。他们利用仿射Springer纤维的上同调环刻画了小量子群中心的一部分。在这项研究中，他们构造了仿射旗流形的上同调环到范畴O中心的代数同态，并猜测这是代数同构。我对这项工作十分感兴趣，选择开始研究。在计算Steinberg块的中心的过程中，我发现了它和Springer消解上的凝聚层范畴的联系，这也促使了我后续对本原块与某些凝聚层范畴的等价的探索。

Q

在论文写作过程中，如何看待导师对你的支持和帮助？

司徒泉：如果没有单芃老师的指导，我不可能独立完成这篇论文。正如之前提到的，这个问题受到单老师及其合作者的工作的启发。在研究阶段，单老师与我每周进行一次讨论，她提供了很多非常受用的建议，让这项工作得以完成，同时她也给我的论文初稿提出了详尽的修改意见，在整个过程中我向她学习到了很多思考问题的方式和角度。

同时，我也非常感谢Eric Vasserot教授的帮助。论文的第三个主要结果是我在法国访问Vasserot教授的时候完成的。虽然我们的讨论中很少出现问题的具体细节，但是他对问题的洞见和指导使我获益匪浅。海外访学的这段时间，单老师也通过线上讨论给予了我很多支持。

Q

 在进行这项研究的过程中，遇到过哪些挑战？又是如何克服的？

司徒泉：挑战之一是困扰了我数月的一处技术性细节。在研究的某一阶段，我已完成了对该范畴绝大部分块的中心的计算，包括最重要的本原块。但余下的情形要用到一个新的工具，为此我需要证明一个技术性引理，可数月过去毫无进展。同时我也意识到必须要得到一个完整的结果，所以不可退缩。最终，我回想起本科毕业论文（也是在单老师指导下完成的）所综述的文章中的一个关键构造，可以把它类比到量子群的范畴O并极大简化相关计算，从而解决了所需引理的证明。

Q

在这项研究中，有什么特别的经历或难忘的时刻与大家分享？

司徒泉：在完成这篇论文后，我受邀在一个讨论班中介绍这个成果。但是在准备讨论班的过程中，我发现论文附录的引理证明中有一个非常不易被发现的小错误。我思考后认为该引理的结论较强，可能不应期望它是正确的，但是这个引理直接影响了主定理的证明。所幸的是，在报告前我修补了主定理的证明，从而避开了有误的引理。这次经历很难忘，也让我对这个结果有了更深刻的认识。

Q

目前，在数学科学中心学习的感受?

司徒泉：我认为数学中心的学术氛围非常活跃。以我们几何表示论方向为例，每学期有很多国际顶尖专家学者前来访问，作报告或者短期授课，这极大的促进了学术交流。同时，中心有很多优秀的老师和同学值得我学习，与小伙伴们组织讨论班共同学习，是我最快乐的事。

世界华人数学家联盟2023年会

编辑/排版 ：王一婷、张妍

审核：牛芸

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主办单位

上海数学与交叉学科研究院

复旦大学

协办单位

清华大学丘成桐数学科学中心

北京雁栖湖应用数学研究院 

东南大学丘成桐中心

香港中文大学数学科学研究所

微信号：YMSC-THU

清华大学丘成桐数学科学中心，是一所研究数学前沿问题、培养新一代数学人才及促进数学思想和成果交流的国际教学科研机构。