与ICBS走近基础科学 | 几何分析
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国际基础科学大会特别设立前沿科学奖（Frontiers of Science Award)，重点奖励过去5年在基础科学领域做出突出学术贡献的科学家。该奖项围绕数学、理论物理、理论计算机与信息科学这三大基础科学领域的40余个主要方向的基础和应用研究展开。
大师带你走近基础科学系列，特别邀请ICBS 2023前沿科学奖数学领域——几何分析方向的评委瓦伦提诺·托萨蒂(Valentino Tosatti）介绍几何分析。
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走近基础科学
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美国数学学会会士
美国纽约大学教授
瓦伦提诺·托萨蒂
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瓦伦提诺·托萨蒂是美国纽约大学教授，他的主要研究领域包括复几何和微分几何、几何分析和偏微分方程，以及它们与代数几何和动力系统的联系，一些具体研究课题包括凯勒几何、卡拉比-丘流形、近复几何、辛几何和埃尔米特几何、几何流、复蒙日-安培方程、代数几何中的超越方法以及K3曲面上的动力系统等。他是美国数学学会、意大利数学联合会和欧洲数学学会会士，曾获美国哈佛大学优秀研究生奖学金（2007 - 2008）、斯隆研究奖（2012 - 2016），2015年美国国家科学院卡弗里科学前沿研究奖（Kavli Frontiers of Science Fellow）。
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Geometric Analysis
托萨蒂教授在下文中将几何分析描述为——用分析学与微分方程中的工具来研究几何问题。几何问题总是寻求一些特别的数学对象，只有用特定的微分方程，才能将其挑选出来。他列举了几个具体的例子：黎曼曲面上的单值化定理，可以通过求解特定的偏微分方程，将二维紧致空间进行分类；推广到三维即成为瑟斯顿(Thurston)的几何化猜想，佩雷尔曼(Perelman)正是通过证明它，从而证明了庞加莱猜想；以及复几何中丘成桐证明了卡拉比猜想等。托萨蒂教授总结到，尽管前方有不少悬而未决的挑战与难题，世界各地的数学家也正在为此努力研发新的工具和技术，几何分析方向未来可期。
Geometric Analysis can be described as the study of geometric questions using tools from analysis and differential equations. The objects studied can be of rather different kinds, and include metrics on manifolds, special submanifolds, mappings between manifolds, connections on vector bundles, and more.
Geometric problems often lead us to finding a preferred such object, such as a metric with as many symmetries as possible, and this object is distinguished among all the possible choices by the fact that if it exists it has to satisfy a differential equation.
A very classical example of this is the Uniformization Theorem for Riemann surfaces, due to Riemann, Poincaré and Koebe, where a metric with constant curvature is constructed on a compact 2-dimensional space, by solving a partial differential equation.
A far-fetched generalization of this result to compact 3-dimensional spaces was proposed by Thurston, including as a special case the celebrated Poincaré Conjecture, and this was settled at the beginning of this century by Perelman, completing a program of Hamilton using his Ricci Flow.
Another major achievement of Geometric Analysis is Yau’s solution of the Calabi Conjecture in complex geometry.
The future of Geometric Analysis is bright, with many remaining outstanding challenges ahead and many new tools and techniques being developed by mathematicians worldwide.
国际基础科学大会
数 学 领 域
前沿科学奖
国际基础科学大会前沿科学奖数学领域共分为24个方向（排序不分先后），分别为：代数拓扑与几何拓扑，代数数论与算术几何，解析数论，变分法与离散优化，范畴论与同调代数，组合数学，交换代数与代数几何，微分几何，离散几何与图论，动力系统与遍历论，泛函分析与算子理论，广义相对论，几何分析，李理论与表示论，数学分析，弦理论与凝聚态中的数学，数值分析，单复变与多复变函数，常微分方程、特殊函数与D模，偏微分方程，概率论与随机分析，科学计算，统计学，辛拓扑与微分拓扑。
2024国际基础科学大会即将隆重开幕
让我们共同期待
编辑 / 排版：张妍
审核：牛芸 雍稳安
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清华大学丘成桐数学科学中心，是一所研究数学前沿问题、培养新一代数学人才及促进数学思想和成果交流的国际教学科研机构。