孫曉磊丨《史記·律書》“律數”發微
《史記·律書》“律數”發微
孫曉磊
孫曉磊，文學博士，浙江師範大學人文學院講師。主要從事秦漢文獻學研究。
【提要】 今本《史記》之《律書》已非太史公書之原貌，經有後人的改動，加以《史記》版本繁夥，異文大量產生，致使《律書》文字錯訛甚多。該篇“律數”一節，自古及今，學者爭論不斷，針對其具體數字、性質、來源以及五聲等，都有大量的討論。今綜合歷代研究之主要成果，利用“三分損益”算理對“律數”中的數字進行計算，求是去非，一方面闡明“律數”性質及來源，另一方面訂正各具體數字，并調整其與五聲之關係，以使今人對“律數”的認識得以清晰。
【關鍵詞】律呂；律數；五聲；三分損益
《史記》“八書”之一的《律書》，講述了“八風”、“律數”、“生鍾分”（鍾律產生的尺度）、“生黃鍾術”（黃鍾律產生的方法）問題。然今傳世之《律書》原為《兵書》，其“序”亦為原《兵書》之遺文，“序”文之外言律內容多為後人割裂、拼湊原《律曆書》而成，經後人移動，已非太史公書原貌[①]，加以《史記》版本繁夥，異文大量產生，使得《律書》文字多有錯訛。今本《史記·律書》“律數”一節，其各具體數字及“十二律”與“五聲”之關係等，都在一定程度上出現了訛誤。另外，學界對於這組“律數”的性質和來源，仍存有疑問，至今沒有形成一個有說服力、統一而清晰的認識[②]。如今，針對上述諸問題，我們提出自己的意見，以便求正於學友。
一、《史記·律書》“律數”析疑
今本《史記·律書》“律數”一節，其文曰：
九九八十一以為宮。三分去一，五十四以為徵。三分益一，七十二以為商。三分去一，四十八以為羽。三分益一，六十四以為角。
黃鍾長八寸七分一，宮。大呂長七寸五分三分二。太蔟長七寸十分二，角。夾鍾長六寸七分三分一。姑洗長六寸十分四，羽。仲呂長五寸九分三分二，徵。蕤賓長五寸六分三分二。林鍾長五寸十分四，角。夷則長五寸三分二，商。南呂長四寸十分八，徵。無射長四寸四分三分二。應鍾長四寸二分三分二，羽。[③]
此“律數”分為兩組，第一組“律數”為：
八十一、五十四、七十二、四十八、六十四
第二組“律數”為：
八寸七分一、七寸五分三分二、七寸十分二、六寸七分三分一、六寸十分四、五寸九分三分二、五寸六分三分二、五寸十分四、五寸三分二、四寸十分八、四寸四分三分二、四寸二分三分二
第二組“律數”之太蔟長“七寸十分二”、姑洗長“六寸十分四”、林鍾長“五寸十分四”、南呂長“四寸十分八”之“十分”，原訛作“七分”，舊版點校本《史記》（中華書局1982年版）全部校改為“十分”，甚是。然而黃鍾長“八寸七分一”卻不作校改。司馬貞、沈括、蔡元定、錢塘、王元啟、瀧川資言、丘瓊蓀等歷代校勘者皆認為黃鍾長“八寸七分一”當作“八寸十分一”。
《呂覽》、《淮南》、《漢書》等古籍關於“黃鍾”長度的記載皆為“九寸”，甚至《史記》它篇的記載亦為“九寸”，但《律書》此處的記載卻為“八寸七分一”，顯然兩數不等，怎麼解釋這種矛盾現象？第一組“律數”與第二組“律數”之間是什麽關係？兩組“律數”各是什麽性質？來源為何？歷代研究者形成以司馬貞、朱熹、蔡元定、王元啟、瀧川資言、丘瓊蓀等為代表的“九進制”、“十進制”合用說和以沈括、錢塘、黃大同等為代表的“實積”說。
（一）司馬貞、朱熹、蔡元定、王元啟、瀧川資言、丘瓊蓀
1.唐·司馬貞在《史記索隱》中將黃鍾長“八寸七分一”校改為“八寸十分一”，並曰：
上文云“律九九八十一以為宮”，故云長八寸十分一，宮。而云黃鍾長九寸者，九分之寸也。劉歆、鄭玄等皆以為長九寸即十分之寸，不依此法也。云宮者，黃鍾為律之首，宮為五音之長，十一月以黃鍾為宮，則聲得其正。舊本多作“七分”，蓋誤也。[④]
2.宋·蔡元定在《律吕新書·律長短圍徑之數》“司馬遷《律書》”條引《律書》第二組“律數”之後，曰：
《律書》此章所記分、寸之法，與他記不同。以難曉，故多誤。蓋取黄鐘之律九寸，一寸九分，凡八十一分。而又以十約之為寸，故云八寸十分一。本作“七分一”者，誤也。……大要《律書》用相生分數，相生之法，以黄鐘為八十一分。今以十為寸法，故八寸一分。《漢前後志》及諸家用審度分數，審度之法，以黄鐘之長為九十分，亦以十為寸法，故有九十分。法雖不同，其長短則一。[⑤]
朱熹在蔡書序言中對此評論道：
其言雖多出於近世之所未講，而實無一字不本於古人已試之成法。蓋若黄鐘圍徑之數，則漢斛之積分可考；寸以九分為法，則《淮南》、太史、小司馬之説可推。[⑥]
3. 清·王元啟《史記三書正訛》“九九八十一以為宮”條，曰：
前云得九寸為黃鍾，是謂十分之寸。此復用九分之寸者，取其布算為便，文異而理則同。[⑦]
其書“黃鍾長八寸十分一，宮”條，又曰：
《索隱》曰：按上文云“律九九八十一”，故云長八寸十分一 ；舊本多作“七分”，蓋誤也。按：今本泰蔟、姑洗、林鍾、南呂四律猶作“七分”，蓋由校讎之不審也。今依《索隱》注悉為改正。[⑧]
4.日·瀧川資言在《史記會注考證》中將黃鍾長“八寸七分一”校改為“八寸十分一”，並曰：
《史》此文曰“黃鍾長八寸十分一”，下文及《淮南子》曰“九寸”，蓋一以漢尺言，一以古尺言，其餘概皆吻合。[⑨]
5.今人丘瓊蓀在《歷代樂志律志校釋》中將《史記·律書》黃鐘長“八寸七分一”校改為“八寸十分一”，並說：
比率與長度，不能混而為一，雖長度亦基於比率，有比率即可以定長度，然長度是長度，比率是比率，二者蓋有別。比率是“數”，長度是“度”。史公原文，一有“長”字，如云“黃鐘長八寸十分一，太蔟長七寸十分二”，此長度也。一無“長”字，如云“九九八十一以為宮，三分去一，五十四以為徵”，此數也。《呂覽》、《淮南》皆云黃鐘長九寸，此言八寸十分一者，蓋如小司馬所謂“律九九八十一，故云長八寸十分一”也。此皆顯然不是“實積數”。[⑩]
（二）沈括、錢塘、黃大同
1.宋·沈括《夢溪筆談·象數二》有云：
《史記·律書》所論二十八舍、十二律，多皆臆配，殊無義理。至於言數，亦多差舛。……律有多寡之數，有實積之數，有短長之數，有周徑之數，有清濁之數。其八十一、五十四、七十二、四十八、六十四，止是實積數耳。又云：“黄鍾長八寸七分一，大吕長七寸五分三分一，太蔟長七寸七分二，夾鍾長六寸二分三分一，姑洗長六寸七分四，中吕長五寸九分三分二，蕤賓長五寸六分二分一，林鍾長五寸七分四，夷則長五寸四分三分二，南吕長四寸七分八，無射長四寸四分三分二，應鍾長四寸二分三分二。”此尤誤也。此亦實積耳，非律之長也。蓋其間字又有誤者，疑後人傳寫之失也。餘分下分母凡“七”字皆當作“十”字，誤屈其中畫耳。黄鍾當作“八寸十分一”，太蔟當作“七寸十分二”，姑洗當作“六寸十分四”，林鍾當作“五寸十分四”，南吕當作“四寸十分八”。凡言“七分”者，皆是“十分”。[11]
2. 清·錢塘《史記三書釋疑》論此云：
“九九八十一”者，律之積數。……黃鍾實積八百十分（立方分——引者注，下同），以是為宮而求徵、商、羽、角，其損益者皆積數也。律體圓如柱體，積八百十分（立方分），則面冪必九分（平方分——引者注），以冪除積而得九寸之長。……黃鍾之積八百一十分（立方分），約之而為八十一分（立方分），……是分（立方分）有十分（立方分）也。[12]
3.今人黃大同在《千年聚訟的〈史記·律書〉律數考》中說：
否定了前人“九分之寸法”的沈括，早已以定性為管積的“實積之數”說，給《史記·律書》的這一組律數究竟應該闡釋為何數的問題，基本畫上了句號。沈括之後的歷代探索，大多追尋小司馬的思路，將這組律數視作本質為數字律數的管長分數以十約成的管長寸數，即間接的管長之數，然其說明顯不如沈括的“實積之數”說更為合理。[13]
沈括、錢塘等人將兩組“律數”統稱為“實積之數”，不表“長度”，而是表“實積”（律管容積）。第一組“律數”為比例數，第二組“律數”為真正“實積”數。沈括、錢塘等人看來，黃鍾長“九寸”表長度，為“長短之數”，而黃鍾長“八寸十分一”表管積，為“實積之數”，是“管長”（高）與“管圍”（面冪、底面積）相乘而得之數，與“長短之數”的性質、來源均不同。
司馬貞、蔡元定、王元啟等人認為，漢代“律數”的計算有“九分之寸”的“九進制”和“十分之寸”的“十進制”兩法。第一組“律數”如“九九八十一”是黃鐘長“九寸”依“九進制”（一寸為九分）換算成以寸、分之“分”為單位的律數，其計量單位“分”隱而不顯；第二組“律數”如黃鍾長“八寸十分一”是將第一組以“分”為單位的律數“九九八十一分”再依“十進制”（十分為一寸）換算而成的以“寸”為單位的律數，即第二組“律數”之“八寸十分一”是黃鍾長“九寸”依“九進制”換算成以“分”為單位的第一組“律數”之“九九八十一分”之後，再依“十進制”換算為以“寸”為單位的律數“八寸十分一”（八寸又十分之一寸），這個黃鍾長“八寸十分一”是黃鍾長“九寸”依“九進制”、“十進制”作兩次轉化而成的間接長度。第一組“律數”採用“九進制”，并以隱而不顯的“分”為計量單位；第二組“律數”是將第一組以“分”為計量單位的律數依“十進制”轉化成“寸”數；兩組“律數”為“九進制”、“十進制”混合產物。“黃鍾”之“九寸”與“八寸十分一”兩數性質相同（同表長度），但來源不同（“八寸十分一”為“九寸”兩次轉化）。
我們不贊同沈括、錢塘等人的解釋，因為兩組“律數”若均表示“實積”（容積），則第二組“律數”與真實值不符，且兩組“律數”不能契合。我們以黃鐘“九九八十一以為宮”為例，“實積”為“管長”（高）乘“管圍”（管圍即底面面冪，九平方分[14]）：
9寸×9（平方）分﹦9寸×0.09（平方）寸﹦90分×9（平方）分﹦0.81立方寸﹦810立方分
第一組“律數”之“八十一”代表“0.81立方寸”或“810立方分”，故“八十一”為“比例數”，非真正“實積”數，真正“實積”數是“0.81立方寸”或“810立方分”，故錢塘始有“黃鍾之積八百一十（立方）分，約之而為八十一（立方）分，……是（立方）分有十（立方）分”之說。今考《漢書·律曆志上》：“天之數始於一，終於二十有五。其義紀之以三，故置一得三，又二十五分之六，凡二十五置，終天之數，得八十一，以天地五位之合終於十者乘之，為八百一十分，應曆一統千五百三十九歲之章數，黃鐘之實（實積——引者注）也。”[15]劉瑾《律吕成書》“復以半周、半徑求黄鍾冪、積元數法”條，云：“九平方分是為黄鍾面冪，……八百一十立方分是為黄鍾積實（即實積——引者注）。”[16]同卷“求黄鍾積實、面冪法”條，云：“古法，黄鍾積實八百一十分（立方分——引者注，下同），今據前氣應之管其長九十分之分為凖以度之，凡一分管長知空圍中當積九立方分，十分管長空圍中當積九十立方分，九十分管長則空圍中當積八百一十立方分，是為黄鍾之積實也。凡論黄鍾管内積分（實積、容積——引者注）者，宜取方分（立方分），而《漢志》止言積實八百一十分者，省文耳。既得積實之數，如此知管面深一分則空圍中的容九方分（平方分）無疑，是又黄鍾之面冪也。”[17]蔡元定《律吕新書·黄鐘》“長九寸，空圍九分（平方分——引者注，下同），積八百一十分（立方分）”條云：“黄鐘之廣與長及空圍内積實皆可計，面冪計九方分（平方分），深一分管則空圍内當有九立方分，深九十分管計九寸，則空圍内當有八百一十立方分，此即黄鐘一管之實（實積——引者注）。其數與天地造化無不相合。”[18]又《律長短圍徑之數》“虛”條，云：“黃鐘之管長九十黍之廣，積九寸，度之所由起也；容千二百黍，積八百一十分（立方分——引者注），量之所由起也；重十有二銖，權衡之所由起也。”[19]皆可證我們計算出“黃鐘”律管“實積”（容積）為810立方分（0.81立方寸）不誤。第二組“律數”，如黃鐘長“八寸十分一”若如沈括、錢塘之說而為“實積耳，非律之長”，則“八寸十分一”（為“八立方寸又十分之一立方寸”之省稱，古人用“寸”、“分”表長度之外，亦常用來表示方寸、方分，包括面積之平方寸、平方分和容積之立方寸、立方分[20]）即“8.1立方寸”或“8100立方分”，這與真實實積數（0.81立方寸或810立方分）不符，相差十倍，亦與其相應的第一組“律數”之“八十一”（比例數，代表0.81立方寸或810立方分）不能契合，此組“律數”不能表示“實積”。
若認定兩組“律數”表律管“面積”（即側面積，并假設底面周長為九分），是否可以呢？今仍以“（黃鐘）九九八十一以為宮”為例，“側面積”為“管長”（高）乘“底面周長”，我們計算：
9寸×9分﹦9寸×0.9寸﹦90分×9分﹦8.1平方寸﹦810平方分
第一組“律數”之“八十一”仍為比例數，代表“8.1平方寸”或“810平方分”。第二組“律數”之黃鍾長“八寸十分一”（八平方寸又十分之一平方寸）即“8.1平方寸”或“810平方分”，與真實值相符，且與其相應的第一組“律數”之“八十一”能契合。那麼，我們是不是由此可以認為兩組“律數”有表示律管“面積”的可能呢？今考《漢書·律曆志上》：
一曰備數，二曰和聲，三曰審度，四曰嘉量，五曰權衡。參五以變，錯綜其數，稽之於古今，効之於氣物，和之於心耳，考之於經傳，咸得其實，靡不協同。
數者，一、十、百、千、萬也，所以算數事物，順性命之理也，本起於黃鐘之數。聲者，宮、商、角、徵、羽也，五聲之本，生於黃鐘之律。度者，分﹑寸﹑尺﹑丈﹑引也，所以度長短也，本起黃鐘之長。量者，龠﹑合﹑升﹑斗﹑斛也，所以量多少也，本起於黃鐘之龠，用度數審其容。衡權者，衡，平也，權，重也，衡所以任權而均物平輕重也；權者，銖﹑兩﹑斤﹑鈞﹑石也，所以稱物平施，知輕重也，本起於黃鐘之重；權與物鈞而生衡。[21]
《後漢書·律曆上》：
古之人論數也，曰“物生而後有象，象而後有滋，滋而後有數”。然則天地初形，人物既著，則筭數之事生矣。記稱大橈作甲子，隸首作數。二者既立，以比日表，以管萬事。夫一、十、百、千、萬，所同用也；律、度、量、衡、曆，其別用也。故體有長短，檢以度；物有多少，受以量；量有輕重，平以權衡；聲有清濁，協以律呂；三光運行，紀以曆數：然後幽隱之情，精微之變，可得而綜也。[22]
蔡元定《律吕新書·造律》引《國朝會要》：
古者，黃鐘為萬事之根本，故尺、量、權衡皆起於黃鐘。[23]
今據此知，與“黃鐘”律有關為“數”、“聲”、“度”（長短）、“量”（容積）、“權”（重量），無表示“面積”之單位，這也是沈括只說“律有多寡之數，有實積之數，有短長之數，有周徑之數，有清濁之數”，沒有提到與“面積”有關之數的原因。第二組“律數”之黃鍾長“八寸十分一”不可能表示“黃鐘”律管之“面積”。
第二組“律數”各具體數字前均有一“長”字，此亦表明該組“律數”不當表示律管之“實積”，亦不能表示律管之“面積”，止當表示律管之“長度”，故而司馬貞、蔡元定、王元啟為主要代表的“九進制”、“十進制”合用說較為合理。今仍以“黃鐘（宮）”為例，第一組“律數”之“九九八十一以為宮”，依“九進制”即：
9寸×9﹦81分
此“八十一”即“81分”，為實數，不是比例數。再依“十進制”得：
81分÷10﹦8.1寸
此即第二組“律數”之黃鍾長“八寸十分一”，亦即“八寸又十分之一寸”，也即“8.1寸”或“81分”，這與其相應的第一組“律數”之“八十一”（實數，8.1寸或81分）契合。如今問題是，漢代是否“九進制”、“十進制”合用？今考《淮南子·天文篇》：“以三參物，三三如九，故黃鐘之律九寸而宮音調。因而九之，九九八十一，故黃鐘之數立焉。”[24]此為“九進制”。又考《漢書·律曆志上》：“一為一分，十分為寸，十寸為尺，十尺為丈，十丈為引。”[25]則是“十進制”。漢代“九進制”、“十進制”確實在合用。
考朱載堉《律吕正論》“第一筭·縱黍八十一分律”條，云：“黄鍾縱黍律長九寸，每寸九分，以九分乘九寸（自注：此謂九分之寸），得八寸十分一（自注：此謂十分之寸）。八寸十分一，猶言八十一分也。以九分乘九寸而得八寸一分，此與尋常定位不同，文義髙古，不獨儒者難曉，雖善筭者定位亦難。”[26]又“第二筭·斜黍九十分律”條，云：“黄鍾斜黍律長九寸，每寸十分，以十分乘九寸，得九十分。”[27]又“第三筭·横黍一百分律”條，云：“黄鍾橫黍律長十寸，每寸十分，以十分乘十寸，得一百分。”[28]又考江永《律吕闡微》“律尺”條，云：“古人算律有四種法：其一，以黄鍾為十寸，每寸十分，共計百分；其二，以黄鍾為九寸，每寸十分，共計九十分；其三，以黄鍾為八十一分，不作九寸；其四，以黄鍾為九寸，每寸九分，共計八十一分。一切算術皆取法於《河圖》、《洛書》。《河圖》，十位，天地之體數也；《洛書》，九位，天地之用數也。是故算律之術，或有約十而為九者，著其用也；或有約九而為十者，存其體也。”[29]朱氏、江氏兩人雖非特定於《律書》而發此論，然將古籍中“黃鐘”律數之所以有不同的記載均歸因於“九進制”、“十進制”算法不同。要之，此乃古人之主流觀點，正確、可取。
第一、二兩組“律數”如何而來？考《吕氏春秋·音律篇》：“黄鐘生林鐘，林鐘生太蔟，太蔟生南吕，南吕生姑洗，姑洗生應鐘，應鐘生蕤賓，蕤賓生大吕，大吕生夷則，夷則生夾鐘，夾鐘生無射，無射生仲吕。三分所生，益之一分以上生；三分所生，去其一分以下生。”[30]《淮南子·天文篇》：“黃鐘為宮，下生林鐘。林鐘上生太蔟。太蔟下生南呂。南呂上生姑洗。姑洗下生應鐘。應鐘上生蕤賓。蕤賓上生大呂。大呂下生夷則。夷則上生夾鐘。夾鐘下生無射。無射上生仲呂。仲呂極不生。下生者倍，以三除之；上生者四，以三除之。”[31]《史記·曆書》：“黃鐘為宮，林鐘為徵，太蔟為商，南呂為羽，姑洗為角。”[32]司馬貞《索隱》曰：“五聲之數亦上生三分益一，下生三分去一。宮下生徵，徵益一上生商；商下生羽，羽益一上生角。”[33]《漢書·律曆志上》：“五聲之本，生於黃鐘之律。九寸為宮，或損或益，以定商、角、徵、羽。”[34]《宋書·律曆上》：“律呂相生，皆三分而損益之。……凡三分益一為上生，三分損一為下生。”[35]《律書》：“以下生者，倍其實，三其法。以上生者，四其實，三其法。”[36]瀧川資言《史記會注考證》：“倍其實，三其法者，算家所謂
第一組“律數”即“八十一、五十四、七十二、四十八、六十四”，今進行推算（計算一）：
最終的計算結果與《律書》相合。今再將第二組“律數”進行推算（計算二）：
今將計算結果列表如下：
今依據“三分損益”算理計算，不僅證明了黃鍾長“八寸七分一”當校改為“八寸十分一”，亦證明了歷代校勘家校“七分”作“十分”正確無誤。因為只有作出如此校改，始能使十二律數符合三分損益。另，“夷則”下“五寸三分二”應訂正為“五寸零分三分一”。舊版點校本《史記》的底本（即金陵局本[38]）將“夷則”律數刻作“五寸四分三分二”[39]，點校人員認為“四分”為衍文，刪衍後作“五寸三分二”，仍不確。因為“五寸三分二”（五寸又三分之二寸）與“五寸零分三分一”（五寸零分又三分之一分）是不相等的兩個數，今人多有混淆者，故特辨明之。[40]古籍中的“零”多用“囗”表示，金陵局本《史記》將“夷則”律數刻作“五寸四分三分二”，此“四”字實是將“零”鈔（刻）作“囗”後在版本上的形訛。
今本《史記·律書》餘外十個律數皆正確無誤。
第二組“律數”中的宮、商、角、徵、羽五聲與十二律相配亦有訛誤，梁玉繩《史記志疑》辯此引《史詮》曰：“太蔟‘角’當作‘商’，姑洗‘羽’當作‘角’，林鍾‘角’當作‘徵’，南呂‘徵’當作‘羽’。俱後人傳寫之誤。”[41]其說是。今依據兩組“律數”，應為：黃鍾（八寸十分一）——宮（八十一）；太蔟（七寸十分二）——商（七十二）；姑洗（六寸十分四）——角（六十四）；林鍾（五寸十分四）——徵（五十四）；南呂（四寸十分八）——羽（四十八）。前引《史記·曆書》“黃鐘為宮，林鐘為徵，太蔟為商，南呂為羽，姑洗為角”，今考《淮南子·天文篇》亦曰：“凡十二律，黃鐘為宮，太蔟為商，姑洗為角，林鐘為徵，南呂為羽。”[42]另，“仲呂”下有“徵”，“夷則”下有“商”，“應鍾”下有“羽”，此“徵”、“商”、“羽”三字當為衍文。蔡元定《律吕新書·律長短圍徑之數》“司馬遷《律書》”條，云：“仲吕下有‘徵’，夷則下有‘商’，應鐘下有‘羽’字，三者未詳，疑後人誤増也。”[43]王元啟《史記三書正訛》亦曰：“仲呂下‘徵’字，夷則下‘商’字，直當定為衍文，刪去，庶可稍通。……‘應鍾長四寸二分三分二，羽’，‘羽’字衍。”[44]考《漢書·律曆志上》：“黃鐘為宮，則太族、姑洗、林鐘、南呂皆以正聲應，無有忽微，不復與它律為役者，同心一統之義也。非黃鐘而它律，雖當其月自宮者，則其和應之律有空積忽微，不得其正。此黃鐘至尊，亡與並也。”[45]顏師古注引孟康曰：“忽微，若有若無，細於髮者也。謂正聲無有殘分也。”[46]即“黃鐘（宮）”、“太族（商）”、“姑洗（角）”、“林鐘（徵）”、“南呂（羽）”皆為“正聲”，即“無有殘分”，這與其各自“律數”之“八寸十分一（八十一分）”、“七寸十分二（七十二分）”、“六寸十分四（六十四分）”、“五寸十分四（五十四分）”、“四寸十分八（四十八分）”無殘分適相契合，則又知有殘分的“仲呂”下之“徵”，“夷則”下之“商”，“應鍾”下之“羽”，皆為衍文。
經此論證，我們將今本《史記·律書》“律數”一節的文字修正如下：
九九八十一以為宮。三分去一，五十四以為徵。三分益一，七十二以為商。三分去一，四十八以為羽。三分益一，六十四以為角。
黃鍾長八寸十分一，宮。大呂長七寸五分三分二。太蔟長七寸十分二，商。夾鍾長六寸七分三分一。姑洗長六寸十分四，角。仲呂長五寸九分三分二。蕤賓長五寸六分三分二。林鍾長五寸十分四，徵。夷則長五寸囗分三分一。南呂長四寸十分八，羽。無射長四寸四分三分二。應鍾長四寸二分三分二。
二、餘 論
新版點校本《史記》（中華書局2014年版），其《律書》“律數”一節，文字如下：
九九八十一以為宮。三分去一，五十四以為徵。三分益一，七十二以為商。三分去一，四十八以為羽。三分益一，六十四以為角。黃鍾長八寸七分一，宮。大呂長七寸五分三分一。太蔟長七寸七分二，角。夾鍾長六寸一分三分一。姑洗長六寸七分四，羽。仲呂長五寸九分三分二，徵。蕤賓長五寸六分三分一。林鍾長五寸七分四，角。夷則長五寸四分三分二，商。南呂長四寸七分八，徵。無射長四寸四分三分二。應鍾長四寸二分三分二，羽。[47]
篇末所附“校勘記”曰：
黃鍾長八寸七分一。“七”，《索隱》本、殿本作“十”。張文虎《札記》卷三：“‘七’字誤。《索隱》本作‘十’，是。然云舊本多作‘七分’，則承訛久矣。”按：“黃鍾長八寸七分一”之“七”，沈括、蔡元（定）、王元啟、張文虎皆以為當依《索隱》作“十”。與此相應，本篇所載律數，唐代司馬貞《索隱》已疑其誤，宋代沈括《夢溪筆談》、蔡元（定）《律呂新書》繼起考辨，清代錢大昕《考異》、梁玉繩《志疑》、王元啟《正訛》等多有考證，張文虎《札記》亦有申論，諸家考辨校改凡八處。董樹巖、戴念祖、羅琳《〈史記·律書〉律數匡正——兼論先秦管律》指出：經過嚴格推算可以認定，《律書》所載不是弦律，而是管律，其資料基本無誤，各家考辨誤以為弦律而加以推算校勘，結論有誤。《隋書》卷一六《律曆志上》：“傳稱黃帝命伶倫斷竹，長三寸九分，而吹以為黃鍾之宮，曰含少。次制十二管，以聽鳳鳴，以別十二律，比雌雄之聲，以分律呂。上下相生，因黃鍾為始。《虞書》云：‘叶時月正日，同律度量衡。’夏禹受命，以聲為律，以身為度。《周禮》，樂器以十二律為之度數。司馬遷《律書》云：‘黃鍾長八寸七分之一，太簇長七寸七分二，林鍾長五寸七分三，應鍾長四寸三分二。’此樂之三始，十二律之本末也。”《隋志》所引，與今本《史記》大致相同，而與各家校改格格不入。今一仍其舊。[48]
點校本爲謹慎起見，對文字的處理態度是“一仍其舊”，保留了底本《史》文的原貌。
董樹巖、戴念祖、羅琳三位先生合撰《〈史記·律書〉律數匡正——兼論先秦管律》一文，對於該文的結論，我們認為有商榷的必要。董氏三先生在其文章中經過一番討論，認為《史記·律書》中的“律數”是經過管口校正的管律數據，并將《律書》“律數”第二組數字校正如下：黃鍾長八寸七分一；大呂長七寸五分三分一，校作八寸一分二；太蔟長七寸七分二；夾鍾長六寸一分三分一，校作七寸一分三分一；姑洗長六寸七分四；仲呂長五寸九分三分二，校作六寸三分二；蕤賓長五寸六分三分一，校作五寸九分三分二；林鍾長五寸七分四，校作五寸六分三分二；夷則長五寸四分三分二，校作五寸二分三分二；南呂長四寸七分八，校作四寸九分八；無射長四寸四分三分二，校作四寸六分三分二；應鍾長四寸二分三分二，校作四寸三分三分二。[49]這種校改對《律書》“律數”一節的數字變動甚大，只有黃鍾、太蔟、姑洗三律仍其舊，而大呂、夾鍾、仲呂三律則將寸數改動，又將林鍾一律多出釐數，剩下的蕤賓、夷則、南呂、無射、應鍾五律亦有比較大的改動（即數字間的校改無跡可尋，如很難看作因形近而誤等等），這種校改距離《律書》的原貌相差太遠，恐《律書》原文不至有如此之大誤。董氏三先生的校改只是為了證明黃鍾、太蔟、姑洗三律原作“七分”不誤，為此卻改動另外的所有律數數字來遷就此三律，有削足適履之感。黃大同先生在《千年聚訟的〈史記·律書〉律數考》中說：“在《〈史記·律書〉律數匡正——兼論先秦管律》一文作者的十二律校正之數中，連同生律首數黃鐘僅有三律與《史記·律書》中的該組數據相同，其餘九律相異，并且這些相異之數散亂無序，之間未表現出任何有聯繫的規律現象來，這與‘九分之寸法’和‘實積之數’兩說，在改‘七’為‘十’的校勘中所體現出來的規律性完全不能比擬。因而僅從概率的角度看，《史記·律書》中的這一組律數是先秦‘經過管口校正的管律數據’的可能性也應予以排除。”[50]新版點校本《史記》止採用董氏三人之黃鍾、太蔟、姑洗三律作“七分”的校勘結果，以作為保留底本文字原貌的依據，但對於他們餘外律數的校改則沒有採用，亦見此三人的校改難以使學者完全信服。另外，《律書》“律數”這段數字，究竟是管律還是弦律，對各個具體律數數字并不存在影響。因為這兩組“律數”是按照三分損益法產生的，其關鍵在於首數，只要首數確定，按照三分損益法相生，後面的各個具體律數數字都有其自身的固定值。十二個律數就是一個有機整體，只要其中某個律數數字發生了變動，其餘十一個律數數字都必須作出相應的調整，以便使十二個律數符合三分損益。胡企平先生在《“黃鐘長八寸七分一”是先秦管律中完全正確的黃鐘宮音管長嗎？——與戴念祖先生〈先秦管律的可能性〉[51]一文中所據以校改的觀點商榷》實驗性文章中，通過必要的“制管驗聲”這一實驗性手段加以驗證，以“實驗報告”的形式將有關數據和結果呈獻給大家。胡氏在其文“實驗報告”的“小結”中說：“無論從測音實驗後的音響高下事實，還是從分析推理來看，舊本《史記·律書》所記述的‘黃鐘長八寸七分一，宮’不是先秦管律中正確的黃鐘宮音管長。既然‘皮之不存，毛將焉附’？因此，他們（謂戴念祖、羅琳《〈史記·律書〉律數匡正——兼論先秦管律》一文——引者注）所推算出的‘管律十二律’，以及所提供的‘管口校正數’，根本就是無稽之談。”[52]在其文最後的“結論”中重新加以歸結，說：“筆者認為，可以肯定的說《史記》中所謂‘八寸七分一’的黃鐘律管是不存在的。究其‘十’成為‘七’的原因：一因往昔暴秦焚書，先秦之管律於漢代已經失傳，自時厥後，後人因舊文之遺殘，在刪補時往往增損其語所致；二系後人傳寫之誤。它非先秦管律中正確的黃鐘宮音管長，歷代校勘家改‘七’為‘十’是正確的，而所校改成的‘八寸十分一’符合司馬遷撰《史記·律書》中這組弦律三分損益律數之本意。”[53]胡氏之文，其方法雖與我們不同，然其結論則與我們深相契合。
《隋書·律曆志上》引《史記·律書》此段文字雖作“七分”，然而司馬貞《索隱》云《史》“舊本多作‘七分’，蓋誤也”，故新版點校本《史記》“校勘記”引張文虎說《索隱》“云舊本多作‘七分’，則承訛久矣”。司馬貞生活在唐代前期，而《隋書》之撰成與司馬貞在同一時代，《隋志》所據《史》本，恐即是司馬貞所云“舊本”，其誤已久[54]，《隋志》文字當是承誤本《史記》而來。
我們認為“七分”當作“十分”，因為只有作“十分”，十二律數才能符合三分損益。我們有必要談談《史記·律書》“律數”一節的數字為什麼要合用“九進制”、“十進制”這一問題。
如若《律書》“律數”一節不合用“九進制”、“十進制”先將黃鍾長“九寸”轉換為“八寸十分一”，而是徑直以“九寸”作三分損益相生，其前五律，即五聲所主之律，應為（計算三）：
因第一組“律數”為黃鍾長“九寸”依“九進制”換算成以“分”為單位，今再依“九進制”回算成以“寸”為單位表直接長度的律數（計算四）：
計算結果乃為前五律直接長度，此與《律書》第二組“律數”表示的間接長度（見計算二）不同。今考《後漢書·律曆上》劉昭引鄭玄曰：“宮數八十一，黃鍾長九寸，九九八十一也。三分宮去一生徵，徵數五十四，林鍾長六寸，六九五十四也。三分徵益一生商，商數七十二，太蔟長八寸，八九七十二也。三分商去一生羽，羽數四十八，南呂長五寸三分寸之一，五九四十五又三分寸之一，為四十八也。三分羽益一生角，角數六十四，姑洗長七寸九分寸之一，七九六十三又九分寸之一，為六十四也。”[55]其“三分去一”即“下生”，“三分益一”即“上生”，鄭氏之說可證我們的計算不誤。現在，我們來回答《律書》“律數”一節為何要合用“九進制”、“十進制”這一問題。《律書》如此處理，是因為只有將黃鍾長“九寸”先依“九進制”轉換為“八十一”（九九八十一，81分），再依“十進制”換算成“八寸十分一”（八寸又十分之一寸，8.1寸）之後，始能保證依三分損益法相生之前五律，即五聲所主之律，其律數全部為整數，無殘分（參見計算二），即：宮——黃鍾——八十一（分）——八寸十分一；徵——林鍾——五十四（分）——五寸十分四；商——太蔟——七十二（分）——七寸十分二；羽——南呂——四十八（分）——四寸十分八；角——姑洗——六十四（分）——六寸十分四。這種整齊而無殘分的現象，即前引《漢書·律曆志上》“黃鐘為宮，則太族、姑洗、林鐘、南呂皆以正聲應，無有忽微”之所謂，此寓有“同心一統”、“黃鐘至尊，亡與並”之意。如果“律數”一節不合用“九進制”、“十進制”先將黃鍾長“九寸”轉換為“八寸十分一”，而是徑直以“九寸”據“十進制”作三分損益相生，其前五律（五聲所主之律）不能全部為整數，會有殘分（參見計算三），即：羽——南呂——
注釋：
[①]趙生群師說：“《兵書》今題作《律書》。……今本《律書》凡二稱‘太史公曰’，全文言兵與言律兩部份涇渭分明，言律之文顯系後人割取《律曆書》的內容充數者。”（載於氏著《太史公書研究》，西安：陝西人民出版社1994年版，第44頁）張大可先生說：“《律書》篇首之序乃《兵書》遺文，‘七正二十八舍’以下割取《律曆書》之文。……補亡者取成書補亡，……分《律曆書》以補《兵書》而更名《律書》。”（載於氏著《史記研究》，蘭州：甘肅人民出版社1985年版，第180、186頁）
[②]年代較近者，專門講解或者涉及到《史記·律書》“律數”內容的學術論文，包括劉文榮先生的《律名與律數》（載《大舞臺》2011年第3期）、譚映雪先生的《〈史記·律書〉中“律數”與“生黃鐘術”》（載《天津音樂學院學報》2010年第1期）、黃大同先生的《千年聚訟的〈史記·律書〉律數考》（載《文化藝術研究》2009年第6期）、劉文榮先生的《〈史記·律書〉中的生律法研究》（載《黃河之聲》2009年第7期）、關曉武先生的《也論〈史記·律書〉中的律數》（載《內蒙古師範大學學報（自然科學漢文版）》2007年第6期）、劉勇先生的《漢代律學概覽》（載《中國音樂學》2003年第1期）。今限於篇幅，我們難以將各家觀點一一詳細的臚列。學者間雖有討論，但對《史記·律書》“律數”的理解仍難以取得一致。各家對“律數”的性質較少討論，多直接採用前人成說，只有黃大同先生在《千年聚訟的〈史記·律書〉律數考》一文中進行了集中的討論。惜我們與黃先生的看法相反，筆者的觀點在本文中都有詳細解釋。各家的討論多集中在訂正“律數”的數字上，因對“律數”來源問題的認識比較模糊，故而訂正的結果也較多分歧。
[③]司馬遷：《史記》卷二五，中華書局1982年版，第1249頁。
[④]司馬遷：《史記》卷二五，第1249—1250頁。
[⑤]蔡元定：《律呂新書》卷二，《四庫全書》第212冊，上海古籍出版社1987年版，第22—23頁。
[⑥]蔡元定：《律呂新書》朱序，《四庫全書》第212冊，第4頁。
[⑦]王元啟：《史記三書正訛》，《二十五史補編》第1冊，中華書局1955年版，第61頁。
[⑧]王元啟：《史記三書正訛》，《二十五史補編》第1冊，第61頁。
[⑨]瀧川資言考證、水澤利忠校補：《史記會注考證附校補》卷二五，上海古籍出版社1986年版，第715頁。
[⑩]丘瓊蓀：《歷代樂志律志校釋》第1冊，人民音樂出版社1999年版，第120頁。
[11]沈括撰、胡道靜校證：《夢溪筆談校證》卷八，上海人民出版社2011年版，第258頁。
[12]錢塘：《史記三書釋疑》卷一，《二十五史補編》第1冊，第100頁。
[13]黃大同：《千年聚訟的〈史記·律書〉律數考》，第139頁。
[14]蔡元定《律呂新書》卷二《律長短圍徑之數》“虛”條，云：黃鐘“圍（面冪、底面積——引者注）有九方分（平方分——引者注）。黃鐘為龠（容積‘量’之單位——引者注）為八百一十分（立方分——引者注）。”（《四庫全書》第212冊，第26頁）錢塘在《史記三書釋疑》卷一曰：“律體圓如柱體，積八百十分（立方分——引者注），則面冪（圍、底面積——引者注）必九分（平方分——引者注），以冪除積而得九寸之長。”（《二十五史補編》第1冊，第100頁）《太平御覽》卷一六引蔡邕《月令章句》曰：“黃鍾之管長九寸，……圍九分（平方分——引者注）。其餘皆稍短，唯大小圍數無増減。”（李昉：《太平御覽》卷一六，中華書局1960年版，第82頁）
[15]班固：《漢書》卷二一上，中華書局1962年版，第963頁。
[16]劉瑾：《律呂成書》卷一，《四庫全書》第212冊，引用有刪節，第141頁。
[17]劉瑾：《律呂成書》卷一，《四庫全書》第212冊，第122頁。
[18]蔡元定：《律呂新書》卷一，《四庫全書》第212冊，第7頁。
[19]蔡元定：《律呂新書》卷二，《四庫全書》第212冊，第25頁。
[20]黃大同先生亦說：“在古代數學中，不論作為面積平方數還是體積立方數的積數的表示，均為長度單位形式。”(黃大同：《千年聚訟的〈史記·律書〉律數考》，第139頁)
[21]班固：《漢書》卷二一上，引用有刪節，第956—970頁。
[22]范曄：《後漢書》志一，中華書局1965年版，第2999頁。
[23]蔡元定：《律呂新書》卷二，《四庫全書》第212冊，第20頁。
[24]劉安撰、高誘注：《淮南子》卷三，《諸子集成》第7冊，中華書局1954年版，第46頁。
[25]班固：《漢書》卷二一上，第966頁。
[26]朱載堉：《律呂正論》卷一，《續修四庫全書》第114冊，上海古籍出版社2002年版，第316—317頁。
[27]朱載堉：《律呂正論》卷一，《續修四庫全書》第114冊，第320頁。
[28]朱載堉：《律呂正論》卷一，《續修四庫全書》第114冊，第321頁。
[29]江永：《律呂闡微》卷一，《四庫全書》第220冊，第556—557頁。
[30]呂不韋撰、高誘注：《呂氏春秋》卷六，《諸子集成》第6冊，第56頁。
[31]劉安撰、高誘注：《淮南子》卷三，《諸子集成》第7冊，引用有刪節，第46—48頁。
[32]司馬遷：《史記》卷二六，第1260頁。
[33]司馬遷：《史記》卷二五，第1252頁。
[34]班固：《漢書》卷二一上，第958頁。
[35]沈約：《宋書》卷一一，中華書局1974年版，第211—212頁。
[36]司馬遷：《史記》卷二五，第1251頁。
[37]瀧川資言考證、水澤利忠校補：《史記會注考證附校補》卷二五，第716頁。
[38]中華書局1982年版《史記》在“出版說明”中明言：“現在我們用（清同治年間）金陵局本作為底本，分段標點。”（第5頁）
[39]司馬遷：《史記》卷二五，清同治年間金陵書局刊《史記集解索隱正義合刻本》。
[40]如：譚映雪《〈史記·律書〉中“律數”與“生黃鐘術”》，第35頁；劉文榮《〈史記·律書〉中的生律法研究》，第21頁；丘瓊蓀《歷代樂志律志校釋》，第119頁。
[41]梁玉繩：《史記志疑》卷一五，中華書局1981年版，第763頁。
[42]劉安撰、高誘注：《淮南子》卷三，《諸子集成》第7冊，第46頁。
[43]蔡元定：《律呂新書》卷二，《四庫全書》第212冊，第23頁。
[44]王元啟：《史記三書正訛》，《二十五史補編》第1冊，第62頁。另，王叔岷《史記斠證》卷二五《律書》“仲呂長五寸九分三分二，徵”條引施之勉云：“景祐本無‘徵’字。”（中華書局2007年版，第1071頁）王氏加案語曰：“《記纂淵海》引亦無‘徵’字。”（第1071頁）
[45]班固：《漢書》卷二一上，第962頁。
[46]班固：《漢書》卷二一上，第963頁。
[47]司馬遷：《史記》卷二五，中華書局2014年版，第1490頁。
[48]司馬遷：《史記》卷二五，第1497頁。
[49]董樹巖、戴念祖、羅琳：《〈史記·律書〉律數匡正——兼論先秦管律》，《自然科學史研究》1994年第1期，第47頁。
[50]黃大同：《千年聚訟的〈史記·律書〉律數考》，第134頁。
[51]今據胡氏之文的尾注可知，此即戴念祖先生的《〈史記·律書〉律數匡正——兼論先秦管律》一文。
[52]胡企平：《“黃鐘長八寸七分一”是先秦管律中完全正確的黃鐘宮音管長嗎？——與戴念祖先生〈先秦管律的可能性〉一文中所據以校改的觀點商榷》，《黃鐘》2012年第4期，第84頁。
[53]胡企平：《“黃鐘長八寸七分一”是先秦管律中完全正確的黃鐘宮音管長嗎？——與戴念祖先生〈先秦管律的可能性〉一文中所據以校改的觀點商榷》，第87頁。
[54]丘瓊蓀《歷代樂志律志校釋》評論《隋志》引《史記·律書》作“七分”，說：“是初唐時之《律書》已作七分一，其誤已久。”（第123頁）
[55]范曄：《後漢書》志一，第3001頁。
注：本文发表于《经学文献研究集刊》第十九辑（上海书店出版社2018年出版），引用请以该刊为准。感谢孙晓磊老师授权发布。
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