WGAN的成功，可能跟Wasserstein距离没啥关系

©PaperWeekly 原创 · 作者｜苏剑林

单位｜追一科技

研究方向｜NLP、神经网络

WGAN，即 Wasserstein GAN，算是 GAN 史上一个比较重要的理论突破结果，它将 GAN 中两个概率分布的度量从 f 散度改为了 Wasserstein 距离，从而使得 WGAN 的训练过程更加稳定，而且生成质量通常也更好。

Wasserstein 距离跟最优传输相关，属于 Integral Probability Metric（IPM）的一种，这类概率度量通常有着更优良的理论性质，因此 WGAN 的出现也吸引了很多人从最优传输和 IPMs 的角度来理解和研究 GAN 模型。

然而，最近 Arxiv 上的论文《Wasserstein GANs Work Because They Fail (to Approximate the Wasserstein Distance)》[1] 则指出，尽管 WGAN 是从 Wasserstein GAN 推导出来的，但是现在成功的 WGAN 并没有很好地近似 Wasserstein 距离，相反如果我们对 Wasserstein 距离做更好的近似，效果反而会变差。

事实上，笔者一直以来也有这个疑惑，即 Wasserstein 距离本身并没有体现出它能提升 GAN 效果的必然性，该论文的结论则肯定了该疑惑，所以 GAN 能成功的原因依然很迷。

基础与回顾

本文是对 WGAN 训练过程的探讨，并不算入门文章。关于初学 GAN，欢迎参考互怼的艺术：从零直达 WGAN-GP；而关于 f 散度与 GAN 之间的联系，可以参考 f-GAN 简介：GAN 模型的生产车间和 Designing GANs：又一个 GAN 生产车间；至于WGAN的理论推导，可以参考从Wasserstein距离、对偶理论到 WGAN；对于 GAN 的训练过程分析，还可以参考从动力学角度看优化算法：GAN 的第三个阶段。

一般来说，GAN 对应着一个 min-max 过程：

当然，一般来说判别器和生成器的损失函数可能不一样，但上述形式已经足够有代表性了。最原始的 GAN 一般称为 vanilla GAN，其形式为：

可以参考《Towards Principled Methods for Training Generative Adversarial Networks》[2] 、令人拍案叫绝的 Wasserstein GAN [3] 或笔者的相关 GAN [4] 文章证明，vanilla GAN 实际上相对于在缩小两个分布之间的 JS 散度。

而 JS 散度是 f 散度的一种，所有的 f 散度都具有一个问题，那就是在两个分布几乎没有交集的时候，散度为一个常数，这意味着梯度为零，而我们是使用梯度下降求解的，所以这意味着我们无法很好地完成优化。为此，WGAN [5] 应运而生，它利用 Wasserstein 距离来设计了新的 GAN：

跟之前的 GAN 的明显区别是，WGAN 显式地给判别器 D 加上了 L 约束 。由于 Wasserstein 距离几乎对任意两个分布（哪怕没有交集）都有比较良好的定义，因此 WGAN 理论上就解决了传统的基于 f 散度的 GAN 的梯度消失、训练不稳定等问题。

给判别器加上 L 约束主要有两个主要方案：一是谱归一化（Spectral Normalization，SN），可以参考深度学习中的 Lipschitz 约束：泛化与生成模型，现在很多 GAN（不限于 WGAN）为了稳定训练，都往判别器甚至生成器上都加入谱归一化了；

二是梯度惩罚（Gradient Penalty，GP），其中有包括以 1 为中心的惩罚（WGAN-GP）和以 0 为中心的惩罚（WGAN-div）两种，可以参考WGAN-div：一个默默无闻的 WGAN 填坑者，目前的结果表明零中心惩罚具有比较好的理论性质和效果。

效果 ≠ 近似

事实上“WGAN 并没有很好近似 Wasserstein 距离”这个现象也不是第一次被关注了，比如 2019 年就有论文《How Well Do WGANs Estimate the Wasserstein Metric?》[6] 系统地讨论过这一点。而本文要介绍的论文，则通过比较严谨地设置实验来确定 WGAN 效果的好坏与 Wasserstein 距离近似程度的联系。

首先，论文比较了梯度惩罚（GP）与一种称为 的方法在实现WGAN时的效果。 同样提出自论文《How Well Do WGANs Estimate the Wasserstein Metric?》[6] ，它相比梯度惩罚能更好地近似 Wasserstein 距离。下面两个图也表明了这一点：

▲ 静态测试时WGAN-GP、c-transforme与Wasserstein距离的近似程度

▲ 训练过程中WGAN-GP、c-transforme与Wasserstein距离的近似程度

然而， 的生成效果，却并不如梯度惩罚：

▲WGAN-GP与c-transform的生成效果比较

当然，原论文选这个图真是让人哭笑不得，事实上 WGAN-GP 的效果可以比上面右图好得多。于是，我们可以暂时下结论：

1. 效果好的 WGAN 在训练过程中并没有很好地近似 Wasserstein 距离；
2. 更好地近似 Wasserstein 距离究竟对提升生成效果并没有帮助。

理论 ≠ 实验

现在就让我们来思考一下问题出在哪。我们知道，不管是原始  （2）还是  （3）又或者其他 GAN，在实验的时候，都有两个共同特点：

1. 和 是交替训练的；
2. 每次都只是随机选一个 batch 来训练。

这两点有什么问题呢？

第一，其实几乎所有的 GAN 都会写成 ，这是因为理论上来说，需要先精确完成 ，然后再去 ，才是在优化 GAN 对应的概率度量，如果只是交替优化，那么理论上就不可能很精确地逼近概率度量。

哪怕 WGAN 因为用了 Wasserstein 距离不怕消失，所以交替训练时通常会多训练几步 D（或者 D 用更大的学习率），但依旧不可能精确逼近 Wasserstein 距离，这是差距来源之一。

第二，随机采样一个 batch 来训练，而不是全量训练样本，这导致的一个结果是“训练集里边随机选两个 batch 的 Wasserstein 距离，还大于训练集的 batch 与其平均样本之间的 Wasserstein 距离”，如下图所示：

▲ 左：真实样本batch，中：平均样本，右：样本聚类中心。看Wasserstein距离的话，真实样本还不如后面两个模糊样本

这就说明了，基于 batch 训练的情况下，如果你希望得到更真实的样本，那么必然不是在优化 Wasserstein 距离，如果你在很精确地优化 Wasserstein 距离，那么就得不到更真实的样本，因为模糊的平均样本的 Wasserstein 距离还更小。

数学 ≠ 视觉

从数学上来看，Wasserstein 距离的性质确实是非常漂亮的，某种意义上来说它是度量任意两个分布之间差距的最佳方案。但是数学归数学，Wasserstein 距离最“致命”的地方在于它是依赖于具体的度量的：

也就是说，我们需要给定一个能度量两个样本差距的函数 d(x,y)。然而，对于很多场景，比如两张图片，度量函数的设计本身就是难中之难。WGAN 直接使用了欧氏距离 ，尽管在数学上是合理的，但在视觉效果上却是不合理的，我们肉眼认为的两张更相似的图片，它的欧氏距离未必更小。

所以如果很精确地去近似 Wasserstein 距离，反而会带来视觉效果上的变差。原论文也做了实验，通过 对 Wasserstein 距离做更好的近似，那么模型的生成效果其实跟 K-Means 聚类中心是类似的，而 K-Means 也正是使用了欧式距离作为度量：

▲ c-transform效果与K-Means的相似性

所以，现在 WGAN 成功的原因就很迷了：WGAN 是基于 Wasserstein 距离推导出来的，然后在实现上却跟 Wasserstein 距离有点差距，而这个差距很可能才是 WGAN 成功的关键。

原论文认为 WGAN 的最关键之处是引入了 L 约束，往任意一个 GAN 变种里边引入 L 约束（谱归一化或梯度惩罚），多多少少都能使得效果和稳定性有点提升，因此 L 约束才是提升的要点，而并不是想象中的 Wasserstein 距离。

但这更多的只是一个结论，还不是理论上的分析。看来对 GAN 的深入理解，还是任重而道远。

简单的总结

本文主要分享了最近的一篇论文，里边指出对 Wasserstein 距离的近似与否，跟 WGAN 的效果好坏并没有必然联系，如何更好地理解 GAN 的理论与实践，依然是一种艰难的任务。

参考文献

[1] https://arxiv.org/abs/2103.01678

[2] https://arxiv.org/abs/1701.04862

[3] https://zhuanlan.zhihu.com/p/25071913

[4] https://kexue.fm/tag/GAN/

[5] https://arxiv.org/abs/1701.07875

[6] https://arxiv.org/abs/1910.03875

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