爱因斯坦的“黑洞方程”的证明

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导 读

1915年11月，在普鲁士科学院的演讲中，阿尔伯特·爱因斯坦讲述的观点颠覆了人类的宇宙观。爱因斯坦解释说，我们并不是居住在一个绝对的几何空间和时间中，实际上，我们栖息在一个被命名为“时空”的四维现实里，它随着物质能量的变化而发生着波动。

爱因斯坦将他的神奇创见展示在几个构成他广义相对论理论核心的方程中，即爱因斯坦场方程。自二十世纪以来，这个理论已被多个实验所证实。

然而，即便爱因斯坦的理论似乎很好地描述了我们观察到的世界，但用以支撑它的数学证明仍然在重重迷雾之中。数学家很少能够从数学方面对方程予以证明——我们知道它们有效，但我们却不能确切地说出原因。也是因此，爱因斯坦不得不退而求其次——依靠近似而不是精确的解决方案——通过他人为创造的视角来观察宇宙。

然而，在过去的一年中，数学家们把广义相对论的数学部分推向了更大的舆论焦点。有两组研究人员提出了有关广义相对论中一个重要问题的证明，这个问题被称为黑洞稳定性猜想。他们的工作证明，爱因斯坦的方程吻合关于时空行动表现的物理推测：如果震动它，它会像果冻一样震动，然后到一个稳定的形式，就像它开始的样子。

“如果这些解不能稳定下来，那就意味着它们不是物理的。他们将仅是一个‘数学幽灵’，在数学上存在问题，并且从物理角度来看没有任何意义，“普林斯顿大学数学家Sergiu Klainerman说。

为了完成证明，数学家必须用爱因斯坦方程来解决中心难题。为了描述时空形状如何演变，就需要一个坐标系来确定点的位置，如经纬度。然而在时空中，其实很难找到一个可以适用于任何地方的坐标系。

将黑洞“摇一摇”

著名的广义相对论将时空描述为一张橡皮布。在正常情况下，表面是平整的。但是开始往它上面掷球时，即在宇宙中加入各种天体时，表面发生了“形变“。球体会朝着彼此滚去，而随着球体的移动，橡胶布的形状也会随之变化。

爱因斯坦的场方程描述了时空形变的方式。如果可以给出关于每一点处曲率和能量的方程信息，方程式就能告诉你时空未来的形态。这样，爱因斯坦的方程其实与任何对物理现象进行建模的方程式一样，无非是尝试告诉你 ：这就是球在零时的位置，而这是它五秒钟之后所在的地方。

宇宙不会给你一个天赐的首选坐标系。 ——Peter Hintz

“这是数学上的精确定量探讨，试图说明物质存在下的时空扭曲情况，”加州大学伯克利分校的研究员Peter Hintz说。在1916年，爱因斯坦发表了广义相对论之后，德国物理学家卡尔·施瓦兹柴尔德几乎立即找到了用以描述我们现在所知的黑洞的方程精确解。随后，物理学家又找到了描述克尔黑洞和R-N黑洞的精确解。

这仍然是描述黑洞的唯一准确解。如果再添上一个黑洞，那么力的作用就变得太复杂了，以至于除了一些最特殊的情况，当今的数学技术还难以处理。不过，你依然可以针对这组有限解提出一些重要问题。比如说：当你震动一个黑洞时，会发生些什么？

黑洞稳定性猜想

这个问题现在被称为黑洞稳定性猜想。这个猜想预测，爱因斯坦场方程的解将在“扰动下稳定”。这个意思简单来说就是，如果你微微晃动黑洞，周围时空将首先动摇，而最终它会稳定到一个与你开始晃动时十分接近的状态。Klainerman解释道：“大致上，稳定性意味着：我对方程取特殊解，然后稍微扰动它们，即稍微改变一点数据，最终达成的动态结果总是将非常接近原始状态。”

所谓的“稳定性”结果是任何物理理论都会面临的重要考验。要进一步理解稳定性，想象一个比黑洞更为熟悉的例子也许更有用。假设有一个池塘，现在想象一下，你用扔石头的行为来扰乱池塘。池塘会晃动一下，然后再次变得静止。在数学上，任何你用以描述池塘的方程（这里应该是Navier-Stokes方程）的解应该也同样适用于描述基本物理图像。如果起始解和长时间后稳定下来的解不匹配，方程的有效性就会受到质疑。

“无论这个方程具有何种性质，或者它甚至可能在数学上是完美的，但如果它与物理上所期望的不符，那么它就不可能是正确的方程，”Vasy说。

加州大学伯克利分校的数学家Peter Hintz 

对于从事研究爱因斯坦方程的数学家来说，稳定性证明比求解方程本身更加困难。考虑到闵可夫斯基空间这种所有时空结构中最简单的情况，它的爱因斯坦场方程的解发现于1908年，是在爱因斯坦早期狭义相对论的理论背景下发现的。但直到1993年，数学家才设法证明，如果你将这个平坦又空荡的时空微微摇晃，它最终一定会回归到平坦、空荡的初始模样。 而由Klainerman和Demetrios Christodoulou发现的这一成果，在该领域一直享有很高的评价。

稳定性证明中需要处理的主要困难是：在解的变化条件下，如何持续追踪四维时空中正在发生的事件。最首要地，就是需要一个坐标系，使我们能够在时空中识别某个点并测量距离，就像经纬线允许我们定义地球上的位置一样。但要找到一个适用于时空各个时间点的坐标系并不容易，并且随着时空形态的演变还要求它依然有效，这更是难上加难。

Hintz在一封电子邮件中写道：“我们找不到一个一刀切的方式做到这一点，毕竟，宇宙不会给你一个天赐的首选坐标系。”

测量难题

首先得意识到，坐标系是人类的发明创造。其次，并非每个坐标系都能够定义空间中所有点。

以经纬线为例：它们首先是任意的，制图员可以将任何想象的线条设为零度经线。虽然经度和纬度的作用是确定地球上的每个位置，但在北极和南极它们却不具意义。如果你本身对地球一无所知，而只能依赖经纬度读取数据的话，那么你很可能会得出错误的结论，在一些地方会遭遇到拓扑异常。

如果用来描述物理空间的坐标系统不完全合适，得出的物理空间的性质就有可能出错，这是难以证明时空稳定性的关键所在。

“可能是稳定性确实存在，但由于你使用的坐标不稳定，因此你错过了这一事实，”剑桥大学研究爱因斯坦方程的数学家Mihalis Dafermos说。

在黑洞稳定性猜想的背景下，它要求坐标系要像贴合着手的手套一样，无论时空形态的如何改变，坐标系和时空之间的匹配必须始终适宜。如若不然，下列两个方面都可能会挫败证明稳定性的努力。

普林斯顿大学的数学家Sergiu Klainerman 

首先，坐标系可能会以某种方式改变形态，使其在某些点出现故障（拓扑异常），就像纬度和经度在极点失效一样。这些点被称为“坐标奇点”（以区分它们与物理奇点，如实际的黑洞）。它们在坐标系中是未定义的点，从而令我们无法跟踪持续变化的解。

其次，一个不合适的坐标系可能会掩盖它要测量的潜在物理现象。为了证明爱因斯坦方程的解在受到扰动之后可以稳定到初始状态，数学家必须仔细追踪由扰动引起的时空波动。为了形象地说明，我们还是用池塘做比喻：扔进池塘的石头会产生波浪，池塘的长期稳定性源于这些波浪会随着时间的推移而趋于平静的事实。时空上与这种情况类似，扰动会引发一连串的引力波，证明稳定性则需要证明那些引力波的衰减趋势。因此证明衰变需要一个坐标系，可以称为“测量仪”，它被用于测量“波浪”的大小。证明的标准是数学家将看到波浪变平，并最终完全消失。

 “衰变必须相对于某些事物来衡量，而这正是出现问题的地方，” Klainerman说，“即使原则上我有稳定性，如果我不持有正确的测量仪，我也不能证明这一点，因为测量仪不让我看到衰减，我就没有波浪的衰减率，也就不能证明稳定性。“

麻烦的是，虽然坐标系统至关重要，但却并非容易挑选到合适的。“在选择上，你可以有很大的自由度，” Hintz说，“它们之中的大部分都很糟糕。”

黑洞稳定性猜想的充分证明要求：证明爱因斯坦场方程的所有已知黑洞解（黑洞旋转低于一定的阈值）在被扰动后都是稳定的。这些已知的解包括，用非旋转黑洞时空描述的史瓦兹齐德解，以及克尔系列解。

而本次两项新的证明都是对全面猜想证明的部分推进。

2016年，Hintz和Vasy在科学预印本网站arxiv.org发布的一篇论文中证明，缓慢旋转的黑洞是稳定的。但是他们的工作并没有涵盖旋转阈值更高的黑洞。

他们的证明也对时空的性质做出了一些假设。最初的猜想是在闵可夫斯基空间，该空间不仅平坦而空洞，而且也是固定的。 Hintz和Vasy的证明发生在所谓的de Sitter空间中，那里的时空正在向外加速，这跟实际的宇宙一样。这种环境变化使得问题变得更简单，从技术角度来看，这更有利于证明：如果你把一块岩石扔进一个膨胀的池塘，膨胀会拉动波动并使它们衰减得更快。

“一个正在经历加速扩张的宇宙，”Hintz说道， “这将使问题变得更加容易，因为它似乎可以稀释引力波。”

Klainerman和Szeftel的作品略有不同。他们证明的第一部分在去年11月在网上发布，发生在史瓦兹齐德时空，这更加接近原来更困难的问题设置。他们证明了非旋转黑洞的稳定性，但他们并未解决旋转黑洞的解的问题。此外，它们仅证明了狭义摄动的黑洞解的稳定性，这些摄动产生的引力波以某种方式对称。

两项工作都致力于寻找合适坐标系。Hintz和Vasy从一个基于近似坐标系的方程式近似解开始，并逐渐提高其结果的精确度，直到它们逼近精确解和一个优良的坐标系。而 Klainerman和Szeftel则采取更多几何方法来应对挑战。

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