感受数学之美: 有关无理数的绝妙证明

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编者按：苏联数学家辛钦在其《数学分析八讲》一书的开篇就指出，“数学分析必须从研究连续统开始”，而无理数的构造从某种意义上来说，是连续统理论、甚至是现代数学分析理论中极为重要的一片拼图。中国科学院物理研究所研究员曹则贤老师从生活中最为常见的长度和平方入手，带我们走进无理数的奇妙世界。

01

长度、平方

在谈论无理数之前，先谈谈长度的测量。长度的测量需要尺子，什么东西可以当尺子呢？当然是一维的、长度适中(以待测量的对象为准)的直杆。在原始农业社会中，高粱、芦苇，因为不枝不蔓，是天然的尺子。采用拉丁字母的西文中的canon，希腊文为κανόνας，就来自希伯来语的芦苇，是标杆、尺子的意思。标尺的概念对物理学来说非常重要。物理学中有canonical equation (正则方程)，canonical ensemble (正则系综)等概念，汉语一概译成正则。正则者，可以为标准(标尺)也。希腊文还有一个与木匠的拐尺有关的词，γνωμων (gnomon)，有解释其为set square(确定直角)的意思。由此而来了西语词norm (标准、规范)。与norm相关的词充斥西方的科学文献，如 normal (标准的、可为范的、法向的、自然的)，normalization (归一化，见于量子力学)，renormalization (重正化，见于量子场论)等等。懂得 normal 和 canonical 的概念很重要，因为测量长度和确定直角关系几乎是建立数学和物理的第一步。

用尺子测量长度，要求尺子短于待测量对象的长度，且结果为整数，这是一个计数 (counting)的活儿。当然，一般来说，用尺子测量长度总有零头，零头的确定要靠更短的尺子。零头复零头，基本上经过两个层次人们对测量精度就满意了，或者说就对测量过程厌烦了。对于那个没有合适标尺对付的零头，用眼估算一下就好。比如，从前关于布匹，有三尺四寸五的说法，则这块布的长度，用寸的标准计量是整数34，若还想再精确点儿，可表示为实数34.5 (假设是十进制[注1])。整数、有限的小数以及无限但循环的小数，统称为有理数。有理数 (rational numbers)，字面上会被理解为有理性的数，但接下来我们会看到，其本义应是可表示为比 (ratio)的数。

• 注1：如何从1米的标准尺子，得到0.1米的标准尺子呢？制作10个等长度(通过比对确定)的物体，使其连起来为9个标准米，则该物体与1米的标准尺子之间的差为0.1米，可作为0.1米的标准。如物理允许，可依此类推。

  注意，不同尺度上的长度标准是要基于物理学严格校准的，是一件非常严肃的事情。一些学科里提及的长度动辄跨越许多个数量级，那属于信口开河，请读者保持警惕。

然而人类生活在三维空间中一个有限物体的表面上，即生活在一个有限无界的二维曲面上，用大白话说就是生活在地球表面上。小范围内的静止水面是平的，小块的土地我们也努力使之平整好种植，这是平面几何产生的现实基础。地块若成矩形，那就更好了，易耕种、易买卖。这其中有个找垂直关系的操作，于是人类发明了拐尺。[注2]用绳子也可以制作拐尺：将12个单位长度的绳子结成环，按将长度分为3，4，5三段的方式在三点上将绳子绷紧，则长度为3和4的两边是互相垂直的。这样的（软）矩尺据说古埃及人造金字塔时用过。直角三角形三边长度之平方的关系，在中国称为勾股定理。《九章算术》云：“勾股各自乘，并之为玄（弦）实。开方除之，即玄（弦）。”用现代数学语言来表示，就是。代入a＝3，b＝4和c＝5，容易验证12个单位长度的绳子如此张成的三角形确实是直角三角形，满足勾股定理。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理。毕达哥拉斯 (Pythagoras，希腊文为Πυθαγόρας，约公元前六世纪)是古希腊的哲人，开办过学校，据信学校里还有女生。根据毕达哥拉斯定理，直边皆为单位长度的直角三角形，其弦长的平方为2，或者说弦长为 。

• 注2：盖房子需要找与地面垂直的线，可通过悬挂铅锤得到。

毕达哥拉斯在授课，听者有女生

图片来源：《惊艳一击：数理史上的绝妙证明》

02

公度与无理数

是人类发现的第一个无理数。无理数的发现让毕达哥拉斯学派寝食难安，据说毕达哥拉斯学派的希帕苏斯 (Hippasus)泄露了这个秘密，因此被谋害了。什么叫无理数？在谈论无理数之前，先了解一下公度的概念。设若有两个长度待测量的对象，存在标尺，使得它们的长度都正好是整数个单位长度，则有，其中m，n是整数。当然也可能没有共同的标尺可以使得它们的测量结果正好为整数，此时这两个长度是非公度的 (incommensurable)。这样的两个长度之比被认为是无理性的 (irrational，引申义)，也被说成 άλoγoς 或者inexpressible(无法表达的)。具体回到，假设等边直角三角形的弦长与直边是可公度的，即存在，其中m，n是不再有公约数的一对整数，则有，可见m必为偶数。令m=2k，代入，则有，n也必为偶数，这和m，n不再有公约数的假设矛盾。这也太缺乏理性了，是故被当成无理的数。这个证明最早见于欧几里得的《几何原本》。

03

反证法证明无理数

上述证明 是无理数的过程用到了反证法。反证法是证明无理数常用的有效方法。比如，这个漂亮的证法可以用于证明是无理数。假设 是个有理数， 且m和n皆为正整数，这意味着，但这是不可能的，因为 2^m总是偶数，而 3ⁿ总是奇数。故的假设不成立， 是无理数。

对于更艰难一点儿的无理数证明，反证法也可能是关键的一步。比如证明e是无理数，也可以用到反证法。欧拉数e是伯努利家族之雅各布•伯努利（Jacob Bernoulli，1655–1705）于1683年引入的:

1737年欧拉发现e可以写成连分数

的形式，这是一个可以写出规律（总是n个部分分母为1，跟着一个部分分母为2n）但是无限不重复的连分数，这表明欧拉数e是无理数。法国数学家、物理学家傅里叶（Joseph Fourier，1768–1830）提供了一个简单的利用反证法的证明。假设 是个有理数，记为，构造数容易证明如果 成立，则x应该是个整数。但是，计算这个数值会发现0＜x＜1。0到1之间当然没有整数，故 的假设不成立，e是无理数。

黄金分割数也是无理数，它的证明是另条思路的反证法。黄金分割数 是方程的解，这算是它的定义。如果 是有理数，则，a，b是能表示这个有理数的最小的整数对。但是方程 意味着如果 ，则必有，也就是说还有表示。这与假设有矛盾，故 也是无理数。当然了，若是无理数， 也是无理数，直接证明前者就好了。是无理数还有一个证明，就是它可写为无限连分数，没错，就是每一个部分分母都是1。笔者总怀疑这和统计物理的遍历过程（ergodic process）有关，也是黄金分割数出现在众多物理现象中的原因之一。不知道这能不能算有效的猜想。

撰文：曹则贤（中国科学院物理研究所研究员）

注：本文节选自曹则贤老师新书《惊艳一击：数理史上的绝妙证明》一书，由外研社科学出版编选。

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