“想清”动点轨迹，解决相关压轴题

主持本公众号的笔者坚持的数学问题探索过程一般基于两点：
1、你是怎么想到的？
2、怎么样更好的教给学生？

本公众号的解题过程也争取坚持3点：

1、不故弄聪明，要知道所谓的“聪明”，既可能是碰了无数墙壁之后的智慧，也可能仅仅是卖油翁的“手熟”而已。

或许华罗庚这一句话，“天才在于勤奋，聪明在于积累”，才是展示“聪明” 的含义。 

2、不做“走完雪地之后把痕迹擦去的事情”。为了教学，还要展示、暴露思考问题和解决问题的过程，包括“一开始是怎么想的”，“那样想为什么不行”，“究竟应该如何思考”……

3、借用生长数学的要旨（讲得真好）

寻找知识的发源地，

登上思维的制高点，

自然通达简易深刻，

生长智力蕴育智慧。

初步分析：

这又是一道典型的动点路径问题，题目涉及到了三个动点。

第一个动点是点P，它在线段AD上运动（已知）；

第二个动点是点A关于直线BP的对称点A_1，

难点是一定要想清楚：随着点P的运动，点A₁在哪里运动（即点A₁的运动轨迹是什么）（未知）？

第三个动点是设A₁C的中点为Q，题目要求“点Q的运动路径长”，其实也是要学生“想清楚”点Q的运动轨迹是什么（未知）。

深入分析：

1、   那么学生应该怎么样才能“想清楚”，或者“想得到”动点的运动轨迹？

2、   对于初中学生而言，必须切实理解并掌握圆、直线等相关定义。例如所谓的圆，就是到定点的距离等于定长的点的轨迹。

3、   所以，由翻折的线段长度不变性，点A₁满足“定点+定长”（A₁B为定值），它的轨迹是以点B为圆心， BA为半径的圆弧；

4、最难的是点Q的轨迹，本质上这是高中数学必修2上的一个例子，即一个圆的动点（主动点）与某个定点的中点（被动点）的轨迹——也是一个圆。但是初中学生没有学过啊！

5、虽然点Q的轨迹，对于初中学生可能不知道，但是抓住条件，“点Q满足QC/A₁C=1/2”，即“是“主从联动”模型，从动点Q的路径是主动点A₁路径的一半” ，所以这道题只需求出点A的运动轨迹长度，再除以2，就得到点Q的运动轨迹长度。

（上面漏写了Pi，补充上去即可）解题反思1：我们解这道题时始终遵循“可视化”“简单化”原则，观察图形特征，联想相关知识模型，构造适当的辅助图形，从条件出发推理得到新结论，把难题转化为易于解决的问题。

解题反思2：而要“可视化”，本质是要画出准确的图形（包括静态图和动态图），这也是笔者喜欢ggb的原因。

2019广州数学中考的24题的第二问也是用了类似求点的轨迹的方法。这道题笔者已经写作并投稿。但还没有收到录用的回复，可能还需要修改。嗯……没事，好的文章是修改出来的。