就是这样一位奥数“天才”，据他母亲高女士说，他从未在校外上过任何奥数培训班。高继扬的老师和家长说，孩子创造奇迹的背后更多靠的是“勤奋+好心态”。看来是校内和家长的引例很重要！学好数学的小窍门

欢迎您点击文章上方蓝字，关注本公众号geogebra进阶13：（多边形、积分）涂色和计算面积geogebra领悟数学系列15：脚拉脚模型的解法优化（复数秒杀）2020.5.12，在群里有老师提问一道求最值的难题：思考：1，这道题如何正确的作图？——从条件来看，原题的作图里，点A和点B的位置应该对调。即正确的图形应该如下：2，此题适合初中学生的解法是什么？一，探索此题利用geogebra作图的方法原理：（1）PA，PB，PC都是固定长，可以用圆截取得到；（2）角ACB为90°，可以用旋转的方法得到。即如下：二，探索此题的初等解法这个题的背景是现在比较热门的“矩形大法”，笔者也写过类似的文章：（点击可打开）geogebra基础入门12:轨迹指令的初步应用（以矩形大法为例）所以此题的解法如下：反思1：凡是最值问题，本质上都有一个动态图形，即此题的动态图形如下：利用ggb制作出动态图形，对于帮助学生理解题意，探索最值，提供了一个非常实用的“可视化”途径！案例2：一个椭圆双切线问题的推广广州市二中的名教师邓军民老师在朋友圈发布了一个椭圆切线问题的解法：解答如下：解答优美，书写漂亮！当然解法中用了切线方程的表述方法。笔者看到之后，第一感觉，这道题可以推广到一般情形。即：详细的过程可以参看下面的视频：邓老师的公众号：长风数学，也有这道题的推广解答。笔者视频的背景音乐是配合波利亚的蘑菇群理论而选的哈。……最近几期经典回顾◆geogebra基础入门29：表格的初步使用（创建、迭代）geogebra进阶系列2：文本进阶（序列文本、公式文本等）geogebra进阶系列3：自定义工具的创建、保存和使用geogebra进阶系列4：映射指令的神奇作用（巧妙提取多边形列表中的顶点）geogebra进阶系列5：四元迭代和表格迭代的神奇作用（2018年广州中考第10题）geogebra进阶系列6：继续谈映射指令的神奇作用（等边三角形中的等边三角形）geogebra进阶系列7：利用自定义工具简化迭代的指令（中点四边形）geogebra进阶系列8：播放本地和网页音乐的方法geogebra进阶系列9：利用映射指令和自定义工具绘制分形树geogebra进阶系列10：滚动系列（四边形和莱洛三角形在直线上的滚动）geogebra进阶系列11：点阵系列1（学习金老师的点阵原理）geogebra进阶12：动点问题的绘制之最好解决方案（1）geogebra进阶13：（多边形、积分）涂色和计算面积◆

欢迎您点击文章上方蓝字，关注本公众号geogebra领悟数学系列15：脚拉脚模型的解法优化（复数秒杀）geogebra进阶12：动点问题的绘制之最好解决方案（1）geogebra有众多的涂色方案，非常丰富多彩！之前笔者也写过：geogebra基础入门27：简单的涂色方法和涂色旋转萧老师也总结过积分的各种方法。虽然大家用得比较多的是轨迹涂色，但是轨迹涂色有个大缺点，就是不能计算面积！如何改进呢？下面举两个案例。案例一：（文海平老师）一个网红的“小学”计算阴影面积先说说这道题的轨迹涂色方法：利用圆弧指令，把上下两个圆弧表示出来，然后和线段BD构成一个列表l1，（列表l1注意顺序！）然后用描点h和轨迹指令：E=描点（l1），轨迹(E

geogebra进阶12：动点问题的绘制之最好解决方案（1）geogebra领悟数学系列14：用GeoGebra炒“瓜豆”相对于其它全等模型，脚拉脚模型中的“倒角”计算是比较麻烦的。所谓的倒角，就是角度的计算，但是按字面意思，应该是“导角”比较合适。之前写过这样的文章：（点击可打开）geogebra基础入门5：脚拉脚全等模型的制作和应用（全等八大模型之八）2020.5.4朱教授提出了一个有趣的问题：这个故事的题意即：先看看一个动画理解一下题意：题意分析：（1）点S是可以变化的动点；（2）点A，B是固定点；（3）三角形CAS和DBS都是等腰直角三角形，具有公共顶点S——所以被称为脚拉脚模型（中的特例）；（4）要求的是CD的中点X的坐标，其实就是证明点X的坐标是由点A，B确定的。解决方法（1）——几何证明：先说说几何方法（武汉的陈莹老师提出的）难点解读：第一组倍长中线的全等好证明，可以得到AS=AC=DE，但是第二组全等：

欢迎您点击文章上方蓝字，关注本公众号geogebra进阶系列11：点阵系列1（学习金老师的点阵原理）一、问题提出有关动点在多边形边界上移动的问题在初中数学中很常见，它涉及到各元素（点、线，以及由它们组成的基本图形）在位置关系、数量关系上的变与不变．由于这些变与不变的关系不仅有显性的，而且还有隐形的，所以成为初中数学教与学的一个难点．文1提出，采用“几何画板”动态演示功能可以轻松突破这个难点，并且呈现了一个具体实例说明制作的思路．可惜，制作过程一共有14步，而且引入了复杂的符号函数，制作过程比较繁杂．最关键的是，文中的几何画板制作过程和人们自然的数学解题过程不相同，相当于要先解决数学问题，另外还得重新思考利用几何画板如何制作这个动态演示课件，费时费力，真“不轻松”！近期热门的免费软件GeoGebra凭借其强大的几何、3D、动态演示和运算等功能，可以规范、便捷、直观地反应图形的变化性态．GeoGebra可以为师生做“数学实验”提供理想的环境，让师生通过“数学实验”去主动发现、主动探索，经历数学知识的建构过程，逐渐掌握发现规律的探究方法，使学生的探究学习能力、空间想象能力得到较好地培养．笔者和肖建伟老师之前在动点绘制方面有过一定的研究和交流，自己也有心得曾经撰写文章投稿，但是杂志索要不小的版面费，笔者就没有发表这样的文章在这个刊物上。但是学习仍要继续进行。二，问题：先看看选自“左右修竹”老师的提供的例子：例：点P在线段AB、半圆BC、线段CD组成的图形上运动，三段上的速度分别为1,2,3.描出P的轨迹。搜图编辑这个例子非常好！因为我们之前的研究中，单位向量法在圆弧上是不能使用的。“左右修竹”老师进行了优化！我们来看看他所提供的两个绘制方法。然后笔者再提出自己的看法和第三种方法。方法一：利用描点指令的路径值法肖建伟老师有一个非常重要的《GeoGebra几何对象路径值(PathParameter)的理解与应用》，指出：几何画板通常运用点值的方法去制作，GGB也有与“点值”对应的参数，用来确定点在几何对象上的位置，那就是“路径值（PathParameter）”，不过GeoGebra路径值的定义比几何画板的定义来得复杂些。同时：搜图编辑所以要用描点指令，绘制动点在不同对象上的动点，必须要计算出相关动点的路径值！肖老师也在这个文章中提出了利用折线计算动点的路径值的方法，大家可以参看，笔者不再叙述。现在看看“左右修竹”老师对这个路径值的计算。第一步：首先手工计算P在轨迹上运动的时间t_总=t_1+t_2+t_3=f+\frac{c}{2}+\frac{g}{3},建立时间滑动条t，范围0到t_总.，然后将f,c,g做成一个列表，准备在上面描点。即：搜图编辑这是一个挺有开创性的方法！把不同的对象放在一个列表里面，下面在列表中绘制动点，似乎能够省一点事情。第二步：计算出各段的点的路径值，并且描点笔者解读：（1）“列表分三段，每一段路径值都是三分之一”，这是ggb为了简化计算而做出的规定，即不论这个折线的各个路径（包括线段，圆弧等）多长，若有3段，则每一段路径值都是三分之一，若有4段，每一段路径值都是4分之一，依次类推……（2）“这就相等于小学应用题的行程问题，总路程就是总路径值1，描点的时候要写的路径值s在每一段都是关于时间t的一次函数。”这个解释其实仅适用于折线？因为路径参数有两个函数：第二个才是一次函数。图编辑当然这个例子的确可以这样解释。（3）第一段，动点的速度是1，在线段AB上的动点的路径值都在0-1/3内。即第一段的路径值一定是一个正比例函数：t

欢迎您点击文章上方蓝字，关注本公众号geogebra进阶系列10：滚动系列（四边形和莱洛三角形在直线上的滚动）最近笔者想把自己的公众号改个名字，改为：geogebra和数学深度融合。原因有二：（1）突出和数学课程融合，尽管ggb的功能非常强大，可以和其它编程语言一样绘制出各种令人心动的图像或者课件，但是笔者首先是一个数学教师，在教学前线工作，希望技术是为数学课堂教学服务的，更加希望技术能够有效的辅助教学，而不是可能的帮倒忙——切不要用“机灌”来代替“人灌”——（启发性教学，突出学生的主体地位，让学生能提出问题，发展学生的核心素养和创新思维，总是第一位的）；（2）这里的数学并没有特指初中还是高中，实际上小学数学也可以用geogebra来形象演示。因为笔者有初高中教学循环几次的经历，这些宝贵的经验使得笔者有一些有利条件。当然，目前任教初中，以研究初中教学案例为主。点阵的研究，其实笔者之前的需求没有那么迫切，因为教学和考试中遇见的机会比较小，相比各种能提高分数的解题模型，这是一个比较“小众”的研究领域。偶尔看到一个中考题，如下：尽管在考场上，这道题并不需要学生或教师绘制，教师和学生只要找到规律，解题就行，但是如果进一步的要求教师能够编制出类似的变式题或原创试题的时候，需要能绘制出这样的点阵，那么这个需求就比较迫切了！唯一不足的是，点阵的学习材料非常少！可贵的是，几何画板和ggb高手的金晓亮老师在这方面研究得比较深，在西瓜视频上发布了20多个关于点阵的视频，这些是我们学习的宝贵材料。今天笔者和大家一起学习金老师的点阵系列。首先非常感谢金晓亮老师的视频，地址是：https://www.ixigua.com/i6806101046948004359/?logTag=XxV_6FTl3JTf895vaZbNG这个视频主要是介绍点阵的制作原理的。笔者学习之后的体会归纳如下：1，几乎所有的点阵绘制，是利用序列+序列的嵌套（平面点阵需要两个序列来嵌套，空间点阵需要三个序列指令的嵌套），所以，这个嵌套表达式非常重要，这时往往需要建立一个平面向量或空间向量的基底；2，利用平面或空间向量的基底，可以表示平面或空间上的任意一点，这就是点阵的数学理论基础。制作的效果有几个，如下：（1）纯粹点阵或者（2）矩形数阵：或者（3），长方形阵：绘制步骤如下：第一步：在平面上作一个自由点

欢迎您点击文章上方蓝字，关注本公众号geogebra进阶系列9：利用映射指令和自定义工具绘制分形树2020.4.26，在全国教育信息化教学应用公益分享活动中，几何画板和geogebra的高手——苏州的金晓亮老师和湖南的孟宝兴（geogbra学习群的创立者）老师给我们带来了关于geogebra的精彩讲座：金老师主要给我们分享了利用他制作的自定义工具，如何制作四边形和莱洛三角形在直线上的滚动。虽然由于网络原因或者是钉钉群拖慢了部分速度，但是精彩的讲座还是让我们大开眼界，让我们充分感受到了geogebra在制作这些滚动系列课件的便捷之处和神奇的作用！笔者在征得金老师的同意下，把相关的制作方法重述一遍，分享给大家。（同时也声明：未经作者同意，不得转载或用于商业用途）第1步：把x

欢迎您点击文章上方蓝字，关注本公众号geogebra进阶系列8：播放本地和网页音乐的方法分形树是最基本和最典型的分形结构，利用各种编程语言都能够绘制，中小学老师常见的几何画板也能绘制，网上的几何画板相关教程也比较多，geogebra教程则非常少，其中几何画板的效果如下：很显然，这个几何画板的迭代功能较好，但是绘制的效果比较“不好看”。利用神奇的数学软件geopgebra，应该如何绘制分形树呢？可以！而且效果很好！看看下面的动图：静态效果如下：绘制过程：（笔者选自唐大仕博士的课程，并且进行思考和重新叙述）第一步；制作自定义工具：但是如果向上图一样，即点CDE是自由点，则新建自定义工具中，输入对象不能选线段f，理由是：这些DCE的点和线段，和线段f无关。怎么办呢？即要把点CDE的产生和线段AB有关！我们可以考虑利用旋转得到点CDE。例如点C=位似(旋转(描点(f,

欢迎您点击文章上方蓝字，关注本公众号geogebra进阶系列7：利用自定义工具简化迭代的指令（中点四边形）geogebra的一大优势是动态！即一切都是动态变化的，利用滑动条和路径值，可以动态的演示数学的各种动画变化情况——从而更好的描述我们变化的自然。动画和音乐往往需要结合，那么，ggb课件中能不能播放音乐呢？可以!下面是武汉陈超老师的指导下，笔者所写的具体方法。先看官网的描述：再看看唐老师的指令汇编：陈超老师说：官网手册里没有说可以播放本地文件，手册要更新一下了！那么作为音乐发烧友，如何播放本地音乐呢？案例：播放本地（自己主机或自己u盘）上的音乐如首先要会找到这个音乐文件的地址：右键点击这个文件的属性，看到：这个就是在本地的地址，接下来，加上音乐名称，就可以在ggb里建立一个按钮：脚本中写上：播放声音("G:\KwDownload\song\胡彦斌-北京的金山上.mp3")点击确定，就可以播放本地的音乐啦！为你的ggb课件加上好听的音乐吧！注意：这个播放本地音乐只能播放自己主机上的音乐，如果要在课室用u盘播放，则u盘必须有这个音乐哦！而且地址需要u盘的地址。案例二：播放网页上的音乐这个请查询指令汇编或官网手册，官网手册讲得比较清楚了。本文主要是弥补官网手册的不足噢……顺便点击下列网址：听听笔者制作ggb课件的歌吧https://h5.weishi.qq.com/weishi/feed/7gn8Nee971Jrd9MJ4https://h5.weishi.qq.com/weishi/feed/7gn8Nee971Jr7L0Vs……最后欣赏一下一个有趣的数学题：动画过程：最近几期经典回顾◆动态数学软件

欢迎您点击文章上方蓝字，关注本公众号今天要研究的是初二学习了三角形的中位线之后的一个考试题：本文重点谈两个方面：一、这个相当有趣的图形是怎么准确绘制的呢？二、这道有趣的问题在数学上如何求解？先看看问题1：即目标的最终图形绘制的效果如下：方法有多种！方法一：（笔者）——利用自定义工具进行迭代自定义工具如何创建，可参考笔者之前的文章：（点击可打开）geogebra进阶系列3：自定义工具的创建、保存和使用第1步：如下图：即先随意绘制四个点——绘制多边形q1——绘制四边的中点——绘制多边形q2,然后利用菜单栏——新建工具，选择输入对象为q1，输出对象为q2，命名为中点四边形，点击确定，就得到一个自定义工具。得到自定义工具之后，原有的线段和点可以全部删除。第2步：根据题意，重新绘制符合题意的四边形：第3步：创建一个整数滑条，范围为1-6，主要ggb迭代的计算量很大，迭代深度不要太多。第4步：指令：l1=迭代列表(中点四边形(p),

欢迎您点击文章上方蓝字，关注本公众号geogebra领悟数学系列13：理解位似和描点的路径值（等边三角形的反证法））今天（2020.4.19）看到我们敬爱的孟宝兴群主写了一个这样的文章：《【瓜豆问题】瓜豆，用GeoGebra炒着吃吧》文章举了若干案例，写得很好！笔者之前也写过类似的文章：（点击可打开）geogebra基础入门13:瓜豆原理的制作和应用（2019贵阳中考）geogebra基础入门11：利用瓜豆原理再探究一道四边形对角线最大值的简洁求法瓜豆原理系列1（轨迹？构造手拉手模型？）评析2020.1越秀区八年级上期末压轴题笔者也做过相关的动态图：（欢迎大家点开看哦，有好听的歌！）https://h5.weishi.qq.com/weishi/feed/7gn8Nee971JkS1tA7对比笔者的文章和孟老师的文章，发现“技术人员”和“一线数学教师”在处理相同的数学问题上，有很多不同的视角！这样交流碰撞就有点意思了。我现在以初中数学老师的身份，再来看看孟老师的一些例子。案例一：打开孟老师的课件，如下：制作精美！有点不足或待改进的地方：移动滑条a,产生的效果不是动点P的变化！这样就不利于让学生观察点P究竟在什么地方取得最大值。右边的轨迹图像很漂亮，但是不是初中学生所能理解和需要的？或许只有我们一线的教师才能理解数学教学究竟需要什么。我们知道，初中学生或许只能从“旋转+相似（全等）”的角度，来理解瓜豆原理。也就是说，孟老师这些案例非常好，但是离进入初中的数学课堂教学还有一点点的距离。ggb很好，但是不能只作为一个“计算器”——何况，为了培养学生的手工计算能力，现在计算器在初高中都是不建议使用的。笔者改进的效果如下：即得到的初中学生能理解的证明如下：如上图：为了达成如上的绘图效果，需要建立一个角度滑条α，范围为0-90°，然后利用旋转指令，把三角形BOP进行旋转α，让学生能够动态观察点P的变化，让学生能够理解旋转的过程，让学生能够理解辅助线是怎么想到和制作出来的。从而知道并求出这道题的精确解，而不是ggb产生的近似解。另外一个滑条n则是条件显示，让提示一步一步呈现。这样对于课堂教学效果比较好！反思一：技术使教学更高效，这是一句还没得到证明的口号，而且还要谨防在教学中盲目使用的弊端。就像计算器并没有使学生的计算能力得到提高一样。反思二：ggb非常好，但是要和课堂数学教学结合起来，需要一线教师的学习与参与！反思三：如何利用ggb和数学课堂教学深度融合，这就是笔者目前的研究课题。尽管去年省市立项时限额，但是我已经等不及立项，已经积极的以小课题研究的方法进行了。因为只有研究者，才能成为这方面的专家。……孟老师的其它案例可以根据上面的例子进行修改。笔者制作的这个课件可以关注和进入本公众号后台回复：瓜豆解决正方形的最值，即可下载！……最近几期经典回顾◆动态数学软件

欢迎您点击文章上方蓝字，关注本公众号geogebra进阶系列4：映射指令的神奇作用（巧妙提取多边形列表中的顶点）在上面这篇文章中，笔者讲到：一、映射和函数是高中数学两个非常重要的概念。函数是特殊的映射，特殊在函数是数集到数集的映射。而映射的集合可以是非数集。所以映射的应用非常广泛。二、映射指令的前提是对集合的元素进行提取，再进行表达式的计算，得到一个新的集合。所以必须要建立原有的集合或列表，才能使用映射指令。但是关于ggb中映射指令的作用，大神孙生富老师进一步的指出：如果接触了国内外高手大量的案例，发现他们用映射指令的场合很多！例如孟宝兴老师分享的一个任意多边形切割：孙老师还提出：“映射是个很好的工具，用多了，现在才发现它有更好应用。譬如，在任意凸多边形边上匀速的动点，不管原来所做的，表达都相对比用映射繁难些。当然，还用迭代中的问题，原来勾股树迭代之所以费心，也是映射没用得如意。”可见，如果想进阶，映射指令是必须要灵活或熟练掌握的。我们以笔者之前提出的问题为例，即下文提到的：（点击可打开）geogebra领悟数学系列13：理解位似和描点的路径值（等边三角形的反证法））孟宝兴大师对这道题继续提出了多种方法，也非常精彩！这个问题其实不需要用映射指令绘制，只是作为一个学习和理解的机会，练习练习。下面是孙老师的该课件的源程序：解读：序号名称描述或定义数值笔者解读1点

geogebra领悟数学系列12：平面直角坐标系的教学思考（区教研）今天（2020.4.12）谢老师在本校数学群贴出一道题，如下：原题看得不太清楚，需要重新画图，但是怎么画出这个题的正确图形呢？方法一：分别以A,B,C圆心，滑条a为半径，做出三个半径相同的圆，再以射线来取点，需要调整a的大小，才能使得B、E、F三点共线，但是这样的画法误差比较大，如下：方法二：位似法好朋友刘强老师利用位似来准确的绘制，如下：动画效果如下：画法的依据：实际上题目隐含三组全等的三角形要直接绘制出点D，E,F是困难的，但是要绘制出CA'=AB'=BC‘，这就简单了！这个方法的关键指令如下：A'=位似(A,

欢迎您点击文章上方蓝字，关注本公众号geogebra领悟数学系列11：形象生动的勾股定理证明（兼谈如何学习他人的ggb文件）经常使用geogebra的老师会有这样的感觉，geogebra天生就是为数学教学服务的，但有老师会反驳，以前没有它的时候，不是一样进行教学吗？而且还教得不错！何况不是有几何画板了吗？的确如此，几何画板、网络画板等等都是优秀的数学软件，包括几何图霸等等，只要用心掌握一种，差不多也就可以了。至于利用ggb提高还是减弱了教学效果，这一点还没有谁进行了大规模的实验来证明。在为期2个月的网课中，笔者在自己所教的两个初一班级进行了尝试，学生至少是喜欢的，也提高了学习数学的兴趣。例如学生自己制作的平行线模型：还有6班学生陈健诚制作的方圆错觉：还有杨浩均同学制作了全等模型若干个，挺不错的。笔者喜欢ggb的原因很多，最主要的原因是它能发挥你的想象力，做出自己需要的效果（有一种编程的快感，虽然它不需要用到编程）。现在来说说这个初一级区公开课录像的过程和体会。要像常规一样的备好课。第一步，看教材，看学生所拥有的学习材料（课堂全策、勤学早），大致做一遍，找出学生可能的问题（备学生），这些还得感谢备课组老师给与的帮助，因为人多智慧力量大。第二步，初步有了自己的思考，收集已有的材料文献。主要在中国知网上下载了这些文献：读文献的过程需要结合自己学生的实际，有些发表的文章实际上不具有操作性，需要质疑和批判的。但是能发表说明人家还是有研究的，借助他人的智慧，节省自己宝贵的时间。反正是读了大概十多篇文献，把这节课的主要数学方面的知识、专家的意见大致吸收，才能博采众长啊！第三步，选定一个合适自己的上课方案。笔者觉得这个文章所讲的方案还可以借鉴。但很多环节要结合自身实际情况修改。第四步，在学科网上查找和下载相关的ppt，这个可以节省自己打字的时间，然后对PPT

欢迎您点击文章上方蓝字，关注本公众号geogebra进阶系列4：映射指令的神奇作用（巧妙提取多边形列表中的顶点）一、说明：1、geogebra群中经常有讨论各自精彩案例的时刻，但是人员发言多了之后，这些精彩案例会被刷屏，非常可惜。笔者的工作其实也挺忙，两个初中数学教学班，一周有14节课。课余参与的讨论，笔者还是想把这些技巧和心得记下来，分享给大家学习和研究。2、笔者所记录的大部分是中考或高考题，即和课程深度整合的内容。goegbra要发挥它的生产力，必须能和我们的中高考数学、物理等课程融合起来，而不希望它仅仅是一个玩具，虽然它真的很好玩。3，笔者的文章不仅仅停留于“描述”要这样做，也同时阐述如果不这样做，怎么样？并且加上笔者的反思性思考，希望能给读者带来更多的启发。迭代是几何画板和ggb都很喜欢研究的内容。也是进阶学习的必经阶段。现在的目标是下图：这个图形其实是广州2018年中考数学题的第10题的变形，笔者之前的文章也讨论过。参考：geogebra基础入门7：序列和迭代指令的简单应用geogebra基础入门22：序列、迭代、映射大比拼（2017南京高考一模）geogebra基础入门10：迭代的简单应用和线段动点（毕氏螺线）上图是大神赵林老师的绘制的。这个迭代列表的理解表面上很难，现在拆解来理解。

欢迎您点击文章上方蓝字，关注本公众号一、简要说明geogebra相比几何画板一个独特的地方：可以利用指令来和电脑交互，这样相当于人工智能，所以非常先进。但是有些高手大神喜欢把指令嵌套很多层，虽然非常简洁的完成了一些工作，但是可读性比较差。笔者建议嵌套指令不要超过三层，其它分步完成，可能更好，可读性更强，因为数学已经很难了，如果在难的数学上再加上难懂的ggb，那引起兴趣或推广的可能性就更低。我们学习ggb的目的之一本来就是辅助理解数学或物理，对吧。当然，能把ggb当成一个独立的学问进行研究也是可以的想法。二、映射指令的基础知识映射指令在唐老师的指令汇编中，做了如下一些简单的介绍。（当然能写成这样的指令汇编也非常不容易！）Zip.

初一培优系列3：史上最难？2018年区初一上半学期数轴动点问题5.初一培优2：破解数轴上的动点问题的绝招高考研究和GGB技术学习篇1.

欢迎您点击文章上方蓝字，关注本公众号之前所写的大部分是基础入门，现在需要进一步的提高。文本是ggb中非常重要的部分，对于大部分学习者而言，比较困难的是动态文本，序列文本，公式文本等。相关的学习资源有赵林老师的视频，啊k数学（今日头条）等介绍。笔者之前也写过一些。如：ggb的文本指令学习系列1，（学习赵林老师）；geogebra基础入门16:动态文本和LaTeX的初步应用（祖冲之的圆周率）；geogebra基础入门26：根式文本和分数文本的技巧；相比于word，ggb中的文本用到了LaTeX，但是大部分老师都没有接触或系统学习过LaTeX。所以ggb的文本对于老师和学生而言，似乎不容易！不过，我们只需要学点儿LaTeX，在GeoGebra中够用就好！基础知识部分，可以参考笔者所写的：geogebra领悟数学系列10：形象生动的胡不归、阿氏圆模型讲解（兼谈latex字体）geogebra基础入门17：利用按钮脚本，批量改变字母的标签包括怎么给文本的字体改变颜色，怎么输入空格，怎么改变字体的大小，怎么改变字母的标签等等。这些都是必须掌握的基本知识和技巧。在改变字母的标签上，提两个实用技巧：技巧1：$\huge{B}$，和$\huge{%n}$，其效果是相同的。%n表示名称（name），%v表示数值（value）但是，利用这个$\huge{B}$，还可以给点B地方标签“改名”，把点B的标题改为$\huge{M}$，效果如下：即点B的定义和属性其实没有改变，但在绘图区中显示的点M，这个招数对于我们一题多问、一题多解的课件制作非常有用！如果不想太大，只需改为$\normal{M}$,即可。技巧二：改变颜色、改变字体标签等不需要嵌套，直接并列输入即可。如$\huge\textcolor{red}{C}$包括文本框的字体：y=\huge\textcolor{red}{k}x+\huge\textcolor{blue}{b}（文本框若勾选了latex公式，则不需要输入$$）或者搜索“啊k数学”（今日头条）的文章，有些文章虽然要付费阅读，但是笔者也十分支持——因为知识付费，是目前的趋势，何况这一点点的费用，比买包烟、吃顿饭便宜多了！但写篇原创文章的辛苦程度，不亚于农民种田。问题一：序列+文本的嵌套问题（包含文本指令和公式文本指令的区别）搜索指令帮助，发现文本的内容十分丰富：文本指令：1.文本(

abs(A1）真是绝妙啊！第三步，选定表格区的A2单元格的拖柄，往下拖拽即可得到一系列的点Ak，即表格自动实现了迭代！避免了利用迭代列表的指令真神奇啊！第四步：在B2处输入：多边形((0,

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型结构最小值问题（阿波罗尼斯圆和胡不归两类问题）geogebra领悟解题系列7：定弦定角+阿氏圆问题阿氏圆中的最大、最小值问题（区教研）现在问题是：如何利用geogebra

C)))即如上图，得到的向量（蓝色带箭头的），起点并不是点O，(这里点D是坐标原点)，而是点D，蓝色向量的终点也并不在角平分线上！为什么呢？原因是：向量OP=Vector(O,

geogebra基础入门14:按钮和脚本增强课件的交互◆geogebra基础入门15:证明勾股定理的内外弦图和旋转弦图◆

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老师）先看效果：代数区定义如下：说明：1，红色部分利用轨迹涂色，和上述例子类似；2，非常聪明的先产生一个列表l2={h,g}；然后利用指令：旋转(l2,

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geogebra基础入门22：序列、迭代、映射大比拼（2017南京高考一模）◆geogebra基础入门23：理解指令的嵌套（正方体的堆积）◆geogebra基础入门24：多页或分页显示◆

geogebra基础入门22：序列、迭代、映射大比拼（2017南京高考一模）◆geogebra基础入门23：理解指令的嵌套（正方体的堆积）◆

j==0,(i,j,k)),k,0,n-i-j),j,0,n-i),i,0,n)))然后提出更加简化的：扁平列表(序列(序列(序列((i,

（2）笔者按照赵老师做的指令如下（3）要确保能获得迭代，首先要绘制一个最基本的初始图形，即正三角形poly1(2)此题是迭代+位似指令的嵌套，即l1=迭代列表(位似(p,

18)对圆进行18等分。笔者也尝试过迭代的方法，或者一个个绘制的方法，也行，参考：geogebra基础入门16:动态文本和LaTeX的初步应用（祖冲之的圆周率）（3）第8行：映射(线段(O,

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利用geogebra领悟解题系列1：隐形圆和相似的综合问题动画理解题意：分析与解：（1）隐形圆的发现，因为BG垂直AE于点G，所以点G在以AB为直径的圆上运动

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geogebra基础入门8：条件显示和按钮脚本的简单应用（2019广州第25题）◆

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一道四边形对角线最大值的简洁求法一、平面几何常用的轨迹指令geogebra的轨迹指令比较丰富，平面几何中常用的是下面两个：（1）Locus(,)

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