geogebra基础入门21： 等分圆周的方法（兰利问题和汤普森解法）

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最近几期经典回顾

一、历史故事

昨天探讨的一个四边形角度计算的难题，原题如下：

我们通过构造等边三角形，得出了一个技巧性比较强的证明方法，参考：（点击可以打开）

后来有老师提出，这道题是历史上比较有名的兰利问题，背景是来自1922年英国的某个数学家发在数学刊物上的题目。

1922 年 ，英国数学家兰利在《数学公报》上发表了一篇题为《一个问题》的文章 ，详细介绍了这个问题，这可能是该问题第一次正式出现在公众的视野里，因此它也被人们称为“兰利问题”．第一次看到“兰利问题”，不少人以为不过是一道角度计算题，常常仅仅去寻找角度上的数量关系，将所求角设为x，再列方程但却无法提供任何有用的信息．事实上，兰利问题远没有那么简单，以至于很多人都把这个问题称 为“史上最难 的初等几何问题”。

过了30年之后，首先给出解答得是1951年华盛顿大学的汤姆森教授，给出的是一种圆内接正十八边形的纯几何方法，后来有人称之为“汤普森问题”。详情见沈文选《几何瑰宝》.到目前为止至少可以有20多种解法。

以这个题目为原题，类似的题在2008 年被选为全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题，参考答案中添加了2 条平行线 ，构造 了 2 个等边三角形 ，使 用了全等三角形 、相似三角形等知识求出了结果 ，解法冗长和繁琐。

后来不少老师经过研究优化，把这些问题归纳为三角形的格点问题，提出了解决这类问题的一系列套路。这些是后话。

二，本文重点在于探讨如何利用geogebra绘制和理解汤姆森教授教授的18等分圆的富含技巧的方法。

发表在2003年《数学教学通讯》的作者厉飞兴在他的文章《构造正三角形解“汤普森”问题》介绍了“汤普森”问题：

现在看这篇文章，有些字母和角度的标注已经“比较模糊”了。

笔者揣摩了许久。终于知道他的文章含义，并且制作了一个微课：

或者下面的高清版本：

https://www.ixigua.com/i6796254290785600014/

需要参考的可以在浏览器打开上面的网址，看到讲解的高清版本。

三、geogebra制作方法

先看看最终绘制的效果如下：

绘制需要思考的几个问题：

（1）如何等分圆周？

答案：可以利用迭代，序列，或者一个个的利用极坐标绘制；

（2）如何标注有下标的一系列字母？

答案：A_{10}，或

详情可参考赵林老师的讲解。

好的，具体步骤如下：一些无用的尝试步骤删去了。

在其中关键的几个指令：

（1）第40行：序列(文本("A_{" + (i) + "}", l1(i)), i, 1, 18, 1)

这个是非常有用的批量对文本命名。

（2）第7行：利用序列：序列(旋转(B, 20° i, O), i, 1, 18)

对圆进行18等分。

笔者也尝试过迭代的方法，或者一个个绘制的方法，也行，参考：

（3）第8行：映射(线段(O, P), P, l1)

和第13行：序列(线段(O, 元素(l1, i)), i, 1, 18, 1)

这两者的功能是一样的，连接O和Ai点。

反思1：

利用序列指令得到的点列是一个整体，有一个缺点，不能直接用线段连接，

改进的方法是用：线段(元素(l1, 3), 元素(l1, 18))，能把这些点连接成线段。包括要连接多边形：多边形(O,元素(l1, 18), 元素(l1, 3))

反思2：下面两个绘图效果是一样的：

左边是用序列指令，右边是一个一个点的绘制。

此题反而用右边的效果好。因为重复的量不算太大。

……

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