初二培优系列6：动态与静态的融通——评析2019年五中初二上学期期中数学试题

南京师范大学课程与教学研究所喻平教授在其发表在数学教育学报（2015年01期）的文章中提出，数学观经历了由静态到动态的演变过程。静态数学观下的传统的数学教学偏重于结果、思维、论证与证实，动态数学观则是把数学看作处于动态发展过程中的知识，从而一定包含错误、尝试、改正和改进的过程。

 动态型问题在数学中考试题中越来越热门。

它一般是指以几何知识和图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题，常见的运动对象有点动、线动和面动；其运动形式而言就是平移、旋转、翻折和滚动等。

  动态型试题其特点是集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活，多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展同学们的空间想象能力。

2019年10月份的期中数学段考中，本校的试题出了3道这样的动态型问题。现在来逐一进行评析。

16题：

如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E运动___秒时，△DEB与△BCA全等．

分析：学生首先要看懂题意，在草稿纸上画出不同的情况，进行分类讨论，如下动态图所示：

所以有四种不同的情况：

（1）当E在线段AB上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，这时E在A点未动，因此时间为0秒；

（2）当E在线段AB上，AC=BE时，△ACB≌△BED，∵AC=4，∴BE=4，∴AE=8-4=4，∴点E的运动时间为4÷2=2（秒）；

（3）当E在BN上，AC=BE时，∵AC=4，∴BE=4，∴AE=8+4=12，∴点E的运动时间为12÷2=6（秒）；

（4）当E在BN上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，AE=8+8=16，点E的运动时间为16÷2=8（秒），

故答案为：0，2，6，8．

23题：

23、取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°）得到△ABC′，如图所示．试问：

（1）当α为多少度时，能使得图2中AB∥DC；

（2）连接BD，当0°＜α≤45°时，探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明．

第一问的分析：动画理解题意

平行的静态图形如下：

解决：

（1）由题意∠CAC′=α，要使AB∥DC，

须∠BAC=∠ACD，

∴∠BAC=30°，

α=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°，

即α=15°时，能使得AB∥DC．

第二问的分析：动画理解题意：

静态图形如下：

解决：

（2）连接BD，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC的值的大小没有变化，总是105°，

当0°＜α≤45°时，总有△EFC′存在．∵∠EFC′=∠BDC+∠DBC′，∠CAC′=α，∠FEC′=∠C+α，

又∵∠EFC′+∠FEC′+∠C′=180°，

∴∠BDC+∠DBC′+∠C+α+∠C′=180°，

又∵∠C′=45°，∠C=30°，

∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°．

现在分析最后一个压轴题24题：

24、已知A（m，n），且满足|m-2|+（n-2）²=0，过A作AB⊥y轴，垂足为B．

（1）求A点坐标．

（2）如图1，分别以AB，AO为边作等边△ABC和△AOD，试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系，并说明理由．

（3）如图2，过A作AE⊥x轴，垂足为E，点F、G分别为线段OE、AE上的两个动点（不与端点重合），满足∠FBG=45°，设OF=a，AG=b，FG=c，试

【解析】

（1）根据非负数的性质可得m、n的值，即A（2，2）；

（2）如下图：

第（3）问是典型的角含半角模型，2019年广州市第16题出现过。

可参考笔者的文章：（点击可打开）

角含半角利用旋转解决比较方便！

静态图形如下：

解决：把三角形BOF逆时针旋转90°到三角形BAF',则它们全等，有OF=AF'=a,

再证明三角形BFG全等于三角形BGF'，可得c=FG=GF'

即证明出c=a+b,

最后代入原式=0．

解题反思：

解答动态型试题的策略是: 

(1) 动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性: 

(2)动静互化 ，抓住静的瞬间，找到导致图形或者变化规律发生改变的特殊时刻，同时在运动变化的过程中寻找不变性及其变化规律.

本次试题笔者放在了百度网盘，需要的请关注本公众号后，回复：2019初二（上）期中

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