2019年中考数学：素养导向的试题观察2——2019宿迁27题

编者按：

中考数学试题是检测学生学力，承载选拔功能，体现教学导向的有力凭据，也是实施教学的良好素材。作为一线数学教师的我们，应该深入研究各地的中考题，试题多解，优解挖掘，本源探究，也对试题的价值导向，教学建议等问题进行深入思考。

笔者已经研究了广州近10年的中考题，若有时间希望能适当每天做一份各地的中考试题，同时也阅读已发表的杂志文章，希望能给同学们和老师们带来一点借鉴。

为了方便阅读，笔者的公众号字体调大一点，同时尽量的不直接在word拷贝过来，以免大家阅读的时候眼睛辛苦。

今天探讨的是2019年江苏省宿迁市的压轴题第27题。

（注意到江苏的中考题多达28题，比广州的25题多！）

分析1：第1问属于手拉手相似模型

动画如下：

静态图形如下：

或者如下：

解决：（1）如图②中，

由图①，∵点D为边AB中点，点E为边BC中点，

∴DE∥AC，

∵∠DBE＝∠ABC，等量减等量得

∴∠DBA＝∠EBC，

∴△DBA∽△EBC．

现在分析第（2）问：

（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；

动态演示题意：

发现∠AGC的大小没有变化，一直为30°。

题目的静态图形如下：

解决：

（2）∠AGC的大小不发生变化，∠AGC＝30°．

理由：如图③中，设AB交CG于点O．

∵△DBA∽△EBC，

∴∠DAB＝∠ECB，

∵∠DAB+∠AOG+∠G＝180°，∠ECB+∠COB+∠ABC＝180°，∠AOG＝∠COB，

∴∠G＝∠ABC＝30°．

现在分析第（3）问：

（3）将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程．

这个问题最难。

学生的难点在于：

1，点G的运动轨迹是什么？如果不知道点G的运动轨迹，就不能求出点G的运动路程！

2，考场上学生应该如何发现点G的运动轨迹？

这是一个定弦定角的模型问题。

最近几年在各地中考中，考了很多次。

参看笔者所写的三篇文章：（点击可打开）

进一步的分析：

动态图形如下：、

静态图形如图4：

解决：

（3）如图5．因为AC是定弦（AC长度为4），∠G＝30°为定角，所以点G的轨迹是圆弧。

那么如何画出这段圆弧，并求出这段圆弧的长呢？

现在画出这个点G的圆弧了，那么如何求这个圆弧的长呢？

下面还有一个难点：

即点G的圆弧所对的圆心角多少度？

下面用了一个匪夷所思的技巧——构造“双圆”求圆心角。

如图6，

以B为圆心，BD为半径作⊙B，

当直线与⊙B相切时，BD⊥AD，

∴∠ADB＝90°，

设AB的中点为K，连接DK，

∵BK＝AK，

∴DK＝BK＝AK，

∵BD＝BK，

∴BD＝DK＝BK，

∴△BDK是等边三角形，

∴∠DBK＝60°，

∴∠DAB＝30°，

∴∠BOG＝2∠DAB＝60°，

解题反思：

本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，弧长公式，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会正确寻找点的运动轨迹，属于中考压轴题．

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