用数学的魅力打动人——兼谈定弦定角问题（2018广州中考第25题）

提出“练在讲之前，讲在关键处”的周伟峰校长（广州铁一）曾经在给我们的数学研究生讲座中，提出了这样的观点——用数学的魅力打动人。但事实上，长期以来,数学课堂教学中存在重知轻情、高耗低效现象，因过分重视认知因素和强调应试，教师“赶教”，学生“赶学”,数学课堂中往往无“情”可言、无“趣”可呈，无“魅力”打动人。数学教学常常给学生一种枯燥、乏味的感觉，学生对数学的兴趣被弱化。

尽管科学研究表明，人天生都是好奇的，喜欢探究的。但是高厉害的分数评价手段，让我们的数学学习成为了筛选的工具，令人生厌。

如何体现或展示数学的魅力，激发学生对数学解题的好奇心理呢？

联想到笔者所喜欢看胜春老师所主持的中国地理杂志这一节目。这个节目把一个可能平常无奇的自然景观，编成一个悬疑探险大剧。这个方法可能对我们数学教学非常有用。也体现了“于无疑处生疑”的探究境界。

中国地理杂志的节目首先是有个开场白，描述一个奇异的景象，提出一些令人感兴趣的问题。在具体的探究过程中不断的提出各种各样令人好奇的问题，并且让科考队进行考察研究和解惑。

笔者希望自己的文章和教学能像这样而形成自己的特色。

能做到这样，其实也就在培养”三会“——会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界。本质上，这“三会”就是数学核心素养。也就是说，“三会”是超越具体数学内容的数学教学的终极目标（史宁中）。

从今天开始就让我们成为数学问题的节目摄制组和科考队吧！

案例：2018广州市中考数学第25题

第一问送分题略。

笔者提出的第一个好奇的问题：这个四边形是怎么画出来的？

如图2所示，连接AC,由∠B=60°，AB=BC，容易得到△ABC为固定不动的等边三角形.实际上，由AC确定，∠D=30°，这是一个定弦定角问题！

定弦定角，意味着点D其实是一个在某个圆弧上运动的点！

看看动图吧！

也就是说，出题者的点D是这样作出来的：如图3所示，先作点B关于线段AC的对称点B'，然后再以点B'为圆心，B'A为半径作圆弧，则圆弧上的任意一点都可以作为点D.

正因为点D是在这固定的圆弧上运动，所以才有第二问：

探究AD，BD，CD三者之间的数量关系！（这三者的数量关系是满足一个勾股定理的关系的。）

笔者提出的第二个好奇的问题：如何探究这三条线段的数量关系呢？

由图形来看，这三条线段是分散的。尽管可以通过一些特殊位置，合情推理，寻找它们的关系。证明的方法可以是直接通过旋转等全等变换，把分散的线段集中起来。

如图4，通过把三角形DBC绕点B逆时针旋转60°得到三角形QAB，连接QD，则可证明∠QAD=90°，就出现了一个直角三角形，从而证明出了这三者的数量关系。

当然第二问还有其它方法，如：

现在分析第三问：（3）若AB=1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE²=BE²+CE²，求点E运动路径的长度．

这个是这道题的难点。其实就是一个定弦定角的逆向问题。即命题者先知道这样的一个事实：若点E在定弦BC的圆弧上运动，且角BEC为定值150°，则有AE²=BE²+CE².

证明这个逆向问题的方法，也是利用旋转构造全等的方法。但是如果不知道这个逆向问题，要学生在考场上去“想出”动点E的轨迹，是非常困难的事情！

如图7：

看到这个图，应该知道怎么做了吧。

笔者在当时研究这道题的时候，还提出了解析几何和余弦定理的方法。利用余弦定理还可以对这道题进行推广。限于篇幅，此处从略。

小结和反思：

1、对于大部分学生而言，在处理复杂数学问题的时候，除了需要具备克服困难的勇气和意志力以外，还要求学生灵活运用演绎推理和合情推理的方式.合情推理主要指通过观察，归纳，类比，实验，联想，猜测，矫正与调控等方法对问题进行探索，从而寻找得到正确的结论.

2、本文的动图利用ggb制作（当然本题也可以用几何画板制作动图），对于发展学生的合情推理（波利亚提倡的），应该是有效的，尽管考场上不能使用。但是只有学生平时经常经历这样的过程，才能在考场上有可能发挥出来。