初一培优系列4：“变.态”的双角平分线与动态讨论问题

一个数学家说过：数学是一种演绎的东西，不是突然冒出来的，平时的训练很重要，要站在一个高的地点来看，……改变情况，改变条件，或者更高一层来看，就是个新东西。

令人敬仰的罗增儒教授说过：

①解题活动是一种思维活动。思维活动既有过程又有结果,思路探求主要反映思维活动的过程，解题答案主要反映思维活动的结果(同时也是认识深层结构的中间过程)，而获得答案的实质是发现与发明的过程。
      ②解题教学不仅要教解题活动的结果(答案)，还要呈现解题活动的必要过程——暴露数学解题的思维活动。没有过程的结果是现成事实的外在灌输，没有结果的过程是学习时间的奢侈消费。解题教学不仅要获得答案，还要从获得答案的过程中学会怎样解题,把过程与结果结合起来。

在大量阅读学习罗增儒、波利亚等大师的著作的基础上，结合本人实践，笔者曾提出备考压轴题的策略：

(1)解剖麻雀：扎扎实实先把遇到的典型的压轴题弄明白，知其然，知其所以然，何以然，以何然。（其实这就是“自觉分析”的形象说法）
      (2)暴露思维：学生学解题“不开窍”的一个基本原因是，“获得答案”之后没有继续暴露数学解题的思维过程。
     (3)利用数学笔记或日记等形式积累解题经验：数学王子高斯说，他的数学发现主要来自经验，“证明只是补形的手续”。学之道在于悟。一开始解题能力差一点，没有关系，坚持学习，日积月累，有效的经验积累得越多，解题的能力就越强。

昨天公众号已经写过2018年的初一数学上半学期的24题的文章，参考：（点击可打开）

分析了24题之后，提出：

24题得分较低的原因，前面还有一题23题难度也较大，让学生花了不少时间。

那么这23题究竟是怎么样的呢？

为什么也这么难？

今天来看看吧！

呈现原题：（2018海珠区初一上学期期末调研测试）

一、考查的重点：

第（1）问从具体角度出发，考查学生对角的相关计算的基本能力；

第（2）问把前一问的数字换成字母，考查学生动手画图、类比迁移、从特殊到一般的分析问题的方法；

第（3）问从一般回归特殊，考查学生对“角平分线定义”的理解和利用方程工具解决问题的能力。

二、当年该题平均分，得分率，最高分，最低分的情况

统计类别	平均分	得分率	最高分	最低分
数据结果	3.03	25.25%	12	0

从平均分来看，此题也是一个难题。

改卷组分析造成平均分低的原因：

1、初一小朋友没有正确理解“绕某点逆时针旋转”这种几何变换术语的意思，以静态的眼观来思考和解决动态的问题，当然会出现漏解的情况；

2、当题干同时出现“如图”和“旋转”等几何变换术语时，不能准确分辨这个问题到底是静态的还是动态的，甚至是不假思索的以为就是“有图有真相，真相是唯一”。

实质上，这道题从第2问开始，就是一个动态的情况！需要分类讨论！

3、会做第（1）问，但不会做第（2）问的第一种情形。说明从具体数字运算，到字母的计算，抽象运算、类比、迁移的能力差。

4、没有良好的作图习惯，画图的动手能力差。有些同学有解题过程，但没有图形辅助说明。

解析：

如上图

需要说明：第（1）问为填空题。不需要写过程，只需要写答案填空即可。

第（2）问分析：

先看动态图：

反思：本文的“变.态”不是粗言，而是指“运动变化”的状态。

在运动变化中找到了不变，这就是第二问的本质所在。

但是，这个结论及其探索过程可以作为一个很漂亮的数学小论文，但是放在2个小时中的考试中，真的有点为难初一的学生了。

此题是不是可以减少分类的情况，来降低试题的难度？

下面分析第（3）问：

第（3）此问难点在于，此时图形是怎么样的？

由动态图发现，第（2）问的第二种图形不满足OB平分∠POQ，只有第三种图形才行，即如下图：

解决：

【反思与点评】本题考查了角平分线定义，角度计算，关键要按角旋转的情况分类讨论．

当时改卷组老师给出的今后的教学建议：

1、强调审题的重要性，注意题干信息、特别是每个小题给出的条件是否可以共用，学生往往不经分析就将第（1）问条件延用在后面几问。再比如本题第一问是填空题，好多学生都当成解答题，写了过程，耗费时间，更可惜过程中代错了度数，答案出错一分也没有。

2、综合题目注意分析清楚是否需要分类讨论，强调学生的自主画图的能力，学会画图分析题目，并且要让学生注意把已知条件转化到图中去。注意培养文字语言转化为数学语言的能力。

3、综合题虽然更重要是需要一个清晰的解题思路，但解题过程也不能过于简化，过程还是需要规范书写。

4、基本功问题：学生对于整式的化简中符号以及括号的问题掌握不是很好，以及字母的处理也比较薄弱。

很显然，这些建议对我们这届的初一教学，有一定的参考价值。

最后，笔者虽然独立绘制了一些的动态图，做了一些独立的思考和判断，写了自己的解答过程，但是本文也参考了2018年区初一改卷组（令人尊敬的李平老师带领下的初一改卷组老师）的分析，特地对他们表示衷心的感谢！

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