ggb 中托勒密定理的旋转放缩证明和应用

根据资料显示，托勒密是埃及天文学家，出生于公元90年，那个时代中国正处于王莽篡汉的时期，公元100年的时候，西方出现基督教，中国则在公元105年，蔡伦改进造纸术，公元132年，张衡发明地动仪（东汉时期）。但似乎都没有托勒密这个大神厉害。

看看托勒密著作清单，一个字，牛！两个字，牛逼！

• 《天文学大成》(Almagest)十三卷(又名《至大论》、《伟大论》、《大集合论》、《大综合论》)

• 《实用天文表》(Handy Tables)

• 《行星假说》(Planetary Hypotheses)二卷。

• 《恒星之象》(Phases of the Fixed Stars)二卷。

• 《占星四书》(Tetrabiblos)四卷。

• 《地理学指南》八卷

• 《光学》五卷

• 《日晷论》(Analemma)

• 《平球论》(Planisphaerium)

• 《谐和论》(Harmonica)三卷

• 《体积论》(On Dimension)

• 《元素论》(On Elements)

托勒密的成就主要在天文学，光学，地理学等等，当然有些结论限于当时的生产水平，现在看来不成立。在数学方面，他用圆周运动组合解释了天体视动，这在当时被认为是绝对准确的。他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，这个倒是完美成立的。

托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

（不知道2000年前生产力低下的年代，他是怎么发现这个神奇结论的，真令人敬佩！）

另意:圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

从这个定理竟然可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式（怎么证明？下回分解），托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.

[评]等价叙述：四边形的两组对边之积的和等于两对角线之积的充要条件是四顶点共圆。

动画演示：

其中一个很奇妙的证明方法：利用旋转放缩，构造相似三角形进行证明！

即旋转可以构造全等，旋转也可以构造相似！

在geogebra中，旋转也可以构造相似的作法要点：利用旋转+位似的指令嵌套。

效果如下：

作法步骤：

作法难点释疑：

本作法的关键指令：

旋转指令：（以下参照唐家军老师编的指令手册）

Rotate.旋转 Rotate(<Object>,<Angle>)；

旋转(<几何对象>,<角度|弧度>)。 

将几何对象围绕坐标原点旋转指定角度。 

Rotate(<Object>,<Angle>,<Point>)；

旋转(<几何对象>,<角度|弧度>,<旋转中心>)。 

将几何对象围绕给定点旋转指定角度。

位似指令：

Dilate(Enlarge).位似 这个指令在不同的英语变型中拼写不同：Dilate (US)、Enlarge (UK+Aus)。 

Dilate(<Object>,<Dilation Factor>)；位似(<几何对象>,<位似比例>)。

以原点为位似中心将对象按指定的位似比例进行位似。

Dilate(<Object>,<Dilation Factor>,<Dilation Center Point>)；

位似(<几何对象>,<位似比例>,< 位似中心点>)。

以指定的位似中心将对象按给定的位似比例进行缩放。 

本作法用了这两个指令的嵌套，即：

旋转[位似(t1, 1+m (d-1), E ),m α,E] ，其中 m为滑动条，范围为（0,1）.

所谓的嵌套，类似复合函数；

求出正确的位似比例 1+m (d-1)是本作法的难点！

位似比例本质就是从一个数连续变化到另一个数。笔者经过多次探索思考，在大神如赵林老师、文海平等老师的指导下，终于有所领悟。

最后发现有个简单的方法创建，位似比例一般是一次函数，从0,1两个特殊位置（即起、止的位置）来考虑创建。

好的，看看证明过程：

（引用司凯老师的证明）

也可以这样书写：

【定理推广】

托勒密定理的推广：

在四边形ABCD中，

 [注]此例证法甚多，如“截长”、“补短”构造全等也很经典

好的，现在主菜出场了，看看2019广州数学中考第23题：

23、如图10，⊙O的直径AB=10，弦AC=8，连接BC。

（1）尺规作图：作弦CD，使CD=BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长。

注意，基本解法如下：

即利用中位线的知识，和相似或勾股定理，建立方程，求线段长，这些是基本的套路。

如果用托勒密定理，改卷组老师的反馈是：先简单证明托勒密定理，才能用，否则要扣2分。广州市有好几位学生进行了如下证明：

但是这个证明明显比较繁琐。这说明了什么呢？

说明只要圆内接四边形，如果加上了弧的中点，或角平分线，或直角等特殊条件，就不要再用托勒密定理，而是直接根据特殊条件进行列方程求解。

第二道主菜：老苏的难题求解续

苏德杰老师在广州中考数学群中呈现了一个难题，如下：

如图，△ABC中，AB<AC<BC, D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD=BE=AC,△BDE的外接圆与△ABC的外接圆交于F点.求证: BF=AF+ CF.

解法一比较复杂。

参考文献：

下面用托勒密定理解决。（老苏的解法二）

[1] 如图2（1），先隐去左边的圆，连接DF, EF.

小结：

对比原来的解法，在处理圆内接四边形线段关系的时候，托勒密定理的确有其独到之处。

作为人类文化的一部分，托勒密定理一直都没有出现在新课程的初中数学教材中，（现在连圆幂定理也删掉了），只有培优的学生才知道一点点。这或许不是可惜，而是时代发展的必然？有人说，新的知识如程序设计等也能培养学生的逻辑思维能力。但笔者认为，传统的欧式几何在学生的逻辑推理能力有非常重要的地位和作用，就像爱因斯坦年轻时对几何推理的着迷，使他明白，逻辑的推理才是那么确定无误，从此他不再相信神学。

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全等模型之四——倍长中线模型（以2007广州中考第25题为例）
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