手拉手模型最值的进一步探讨
最近看到人民日报《媒体刊文：数学思维今何在？》一文，里面指出：
中国科学院数学与系统科学研究院副研究员周川认为，数学的本质在于数学思维。“数学思维是指在思考和解决问题过程中对数学思想、方法的合理运用能力。数学思维不是一种知识，而是一种能力。数学思维是搭建数学世界最重要的根基，不管是纯粹的数学学习与数学研究，还是把数学工具应用到其他领域，数学思维都发挥着重要作用。”周川说。
如何拥有数学思维？
数学思维如此重要，怎样才能获得？做题是首要途径。
周川对记者表示，做题的目的是为了检验对知识的掌握情况、强化对知识的认知理解、开拓思维。任何科学研究，都是一个不断试错的过程，数学研究也不例外。“面临一个数学问题时，通常会大胆假设，发散思维，尝试多种不同思路，小心推演证明，看看哪条思路可行且漂亮。”周川说，“做题可以帮助数学工作者加深知识理解、开拓创新思维、刺激新颖想法，这些对于科研工作大有裨益。”
周川认为，数学研究不会一帆风顺，对于真正的难题，通常容易想到的思路与方法往往并不奏效，这就需要在数学研究中保持足够的勇气与毅力，遇到困难要有“逢山开路、遇水搭桥”的魄力，努力前行直至目的地，虽然这个过程可能会很漫长。
今天整理电脑素材的时候，发现之前谢老师给我的两道初中难题如下：
先看16题：
16. 如图，点C为线段AB的中点，E为直线AB上方的一点，且满足CE=CB,连接AE, 以AE 为腰，A为顶角顶点作等腰Rt△ADE,连接CD,当CD最大时，∠DEC=
分析：这个图形如何做出来？由题意“点C为线段AB的中点，E为直线AB上方的一点，且满足CE=CB,”说明点E是在以点C为圆心，半径为CA的圆上运动。
即
动态图形如下：
要求“当CD最大时，∠DEC=”，那么什么时候CD最大呢？一开始看不出啊！
随着点E的运动，点D的运动轨迹是什么呢？
跟踪一下点D的运动吧！
即静态图形如下：
即点D的运动轨迹是一个圆，而且“目测”这个圆和三角形ACE的外接圆大小相同。那么这个点的所在圆的圆心是多少？如果能找出圆心，那么CD的最大值就是过圆心的的线段。
再看看动态图：
静态图形如下：
只要把三角形ECA逆时针旋转90°到三角形DHA的位置，连接HC，由旋转得到全等三角形，证出三角形HAC也是等腰直角三角形，所以这是两个等腰三角形的手拉手模型的逆向应用。
当且仅当D、H、C三点共线时，CD最大，如下图：
此时∠DHA=135°，从而∠ADH=∠DAH=22.5°，由全等得∠CAE=∠AEC=22.5°，
所以所求的∠DEC=45°+22.5°=67.5°.
其实，从上述解题来看，不用点D的轨迹图形，如下两图：
解题的过程完全一样。只是有了点D的轨迹图形，我们更加清晰的看到“题目的本质是怎么样的”。
笔者作为在高中教过15年的老师，其实一开始的想法是高中三角函数的解法。
如下：
当然这个解法所用的知识有余弦定理、三角函数的恒等变换等，初中学生是暂时看不懂的。这也说明，不是教过高中的老师就能天然的能教好初中。不钻研，不思考，不学习，也未必能对初中的问题轻易解决，更何谈去教好初中学生。反过来，如果教初中的老师能多站在更高的角度思考初中的数学问题，或许能对问题的本质更加了解清楚，从而为编制变式练习或试题提供方便。
某帮的解答如下：