如何学好数学，兼谈海珠区2019初三一模第24题

最近开学两周很忙，阅读也少了，静下心来写更少了。这或许是大部分人的生活常态。在微信上阅读到两篇文章，写得很好。一个是广州日报采访数学家张寿武的，另一个是网易新闻上李克正（首都师范大学特聘教授）关于如何学好数学的。

数学家张寿武：要做出题人而不是解题人

尽管培养了麻省理工学院数学系教授张伟，耶鲁大学数学系副教授刘一峰等一大批知名华人数学家，但对于诸如“数学界领袖”的赞誉，57岁的张寿武还是连连摇头，“这显然有捧杀我的嫌疑”。

在普通人看来，数学和音乐、诗歌、文学这类词完全绝缘，但张寿武却觉得它们殊途同归、大道至简，“科学到了一定地步，就是艺术的一部分，我们和欧美国家顶尖数学家的差距，就在‘艺术’创造力。我们常常听到中国数学家解开了哪个有名的数学问题，却淡忘了一件事，是谁提出了这个重大的课题呢？”

“如果一个数学系学生大学阶段还在沉迷于解题，那就有问题了。我经常和学生说，解不了题、读不懂书没关系，我们要做出题人而不是解题人，要做写书人而不是读书人。”身为普林斯顿大学数学系教授的张寿武告诉广州日报记者。

反思一：我们要做出题人而不是解题人，要做写书人而不是读书人。这个听起来如醍醐灌顶！讲得真好！笔者认为这里指的是大学生以上的数学人，包括我们教师，哪怕解了一万到题，如果还停留在解别人的题，不会或不去思考如何出题，搞不懂如何提出更多有价值的问题，那是毫无创造性可言的。当然对于像初高中的学生，初学数学，还是要注意数学双基（基本知识和基本技能）的巩固，这时需要做一定数量的数学题。

而李克正（首都师范大学特聘教授）所讲的——如何学好数学：

他认为这个题目不好讲，因为每个人应该根据自己的情况找到最适合自己的学习方法，即使只是要给某一个同学提建议，也得先对这个同学有充分的了解。

但反过来看，常见很多人对于数学采取的不适当学习方法，倒是有很多共同之处。简言之，正确的道路各不相同，错误的道路却常雷同。我们就从这个角度开始讨论。

 他反复强调——不要相信“教育学家”的话

很多人以为数学教育属于教育学的范围，其实不对。数学教育有很多实质上的特殊性，在教育学的教科书中完全没有涉及。例如有教育家说学习知识的一般方法是“理解+记忆”，这对于学习数学就不适用。

很多中学招聘数学教师，宁可要数学专业出身但没学过教育学的，也不愿要教育学出身但数学基础薄弱的。不久前我看到美国一个数学教育领域的教授说，他的最差的学生都是教育学出身。

近来中国和美国的很多数学教育方面的专家在讨论教育学家对于数学教育的伤害，但这离开本报告的题目较远，所以我们仅仅提醒大家不要被某些“教育学家”误导。应该针对数学学习的特殊性来讨论。

那么，与其他学科相比，数学学习有些什么特殊性呢？

（1）数学根本上来自自然界，因此学习数学要拥抱自然，特别是要避免脱离自然。

（2） 学习数学的最强动力是兴趣，因此培养兴趣对于学好数学至关重要。

（3） 学习数学需要实验，实验的质量对于数学学习的质量有重要影响。

（4）数学的内容极为广阔，因此学习的内容 （包括教科书）的选择极为重要。

（5）数学竞赛对于激励数学兴趣和提高数学水平有重要的作用，但要避免一些误区。

（6）数学是科学，所以学习数学应该用学习科学的方法，而不是用例如学习技术或法规的方法。

他强调：

“理解+记忆”的模式，对于数学教育是不适用的。

并且指出：遗憾的是，很多数学教育几乎就是用技术教育或法规教育的方法，甚至将数学当作教条。这样的教育尽管可以使一个孩子学完所有的教程，如记数规定、运算法则、多种应用题型等等，而且通过达标考试，却仍然没有使他“学懂”数学。

（7）学习数学的过程不仅有知识的积累，而且有理念的提升，为了培养数学素质尤其需要因材施教。

在数学实验中他提出：

作为科学，数学产生于实验，在这一点上与物理、化学等都是一致的。离开自然界，数学根本不可能存在——不可能产生。

一个班的学生中一般总有几个学得不好的，很多人将此简单地归因于这些学生“笨”或者“懒”，还有归因于“智商”的（而且有些人将智商说成是先天因素）。另一方面，经常也总有几个学生学得很好，这也使一些人认为他们“聪明”“勤奋”或“智商高”，由此往往会得出一个错误的判断，就是在数学教学中不需要实验，没有实验他们不是也学得很好吗？其实不然。少数学生不需要某个实验，可能是因为他们以前做过有同样效果的实验，但其他学生仍是需要的。

并且提出：

除了这些实验设备外，一个较为先进的数学实验手段是计算机虚拟实验。张景中先生建立的“超级画板”可以作为一个实验平台，我们与张先生合作建立了一些虚拟实验，包括运动、角、勾股定理（割补法）、数轴、牛顿-莱布尼兹公式等。

反思二：关于数学学习需要实验和探索，这一点波利亚早已经讲过。笔者更加喜欢ggb这个免费的数学软件进行数学实验。

案例：2019年初三海珠区一模第24题

 解析：（1）属于直接代入可得的送分题。

现在分析：

（2）在图24－①中仅用尺规作图（保留作图痕迹，不要求写作法）在轴上确定点P，使∠APO=∠BPC，直接写出点的坐标；

这个小问极具创新！给了当时在考场的学生相当的困难！

即题意如下图：

符合条件的点P在y轴的何处呢？

实际上，这样的作图题，往往是要求学生先画出效果图形（草图），然后观察效果图形，再思考并弄懂作图的原理，最后才用尺规作图的方法作出答案。

从上述的作图来看，要确保使∠APO=∠BPC，则不就是入射角等于反射角吗？所以这是“轴对称”作图！

答案如下：

现在分析第（3）问，即：

题意图形如下：

参考答案如下：

其实：根本不需要用到求根公式！只需用韦达定理得出如下：

这样就简单多了！

现在分析最后一问：

动态图形如下：

观察发现，当k=0时，PF+PG最小。如何证明呢？

解决：

这个解法是利用代数的方法证明几何问题（解析几何的方法），但是对于初中学生而言是要求很高的。笔者对这个解法并不满意。难道没有更加简单的解法吗？这道题的本质是什么呢？出题者是如何命制出来的呢？还有其它更深入的背景吗？（抛物线的准线等知识），这是下次要深入探讨的问题。