“蒙日圆”，又是一个怪名字！当然，反过来，西方人读中国人的名字也可能这么怪。那我们先来了解下发明它的数学家：加斯帕尔·蒙日 ，法国数学家、化学家和物理学家。蒙日的一生励志又传奇，蒙日出身贫寒，但他自幼聪颖好学，自强不息， 14岁时就能造出消防用的灭火机， 16岁便被推荐到梅济耶尔皇家军事工程学院学习，年仅22岁就初创“画法几何学”，原来人们在设计工程时由于计算失误而导致工程不符合要求，只好把已建成的工事拆毁重建，而蒙日的画法几何方法就轻而易举解决了这类问题，不止如此，他的“画法几何学”还推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，引导了纯粹几何学在19世纪的复兴。此外，他在物理学、化学、冶金学、机械学方面也取得了卓越的成就。他的画法几何学中有一个有趣的结论：在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如下图。
以蒙日圆为背景的高考题或模拟题不少见。笔者曾经对2014年的广东高考题进行了研究，成果发表在了《广东教育》上。在中国知网上查询《圆与椭圆的相伴》或者查询作者“刘护灵”即可找到这篇文章。把题目的字放大一点：
第一问属于送分题，解析如下：
第二问的解析有n种方法。学生最常用的是设直线联立方程的方法（文中的方法一），运算量很大，当年这道题的平均分不高。
解法3和解法2类似，这里不贴出、
问题二：题目源自哪里？还有什么结论？
笔者的文章并未到此结束。笔者通过查询文献，继续写到：
命题1、2的圆被称为椭圆C的准圆（或伴圆），历史上是法国数学家Gaspard Monge首先发现的，所以又叫“蒙日圆”， （蒙日还提出了另外一个问题，即Monge's Problem：画一个圆，使其与三已知圆正交．这是历史上的100个著名初等数学问题之一）．而“准圆”是我国著名数学家单墫教授首先命名的．
然后笔者不用解析几何的方法，继续研究得到新的证明方法。
当然这个问题十分值得研究，还有其他方法进行证明或还有更加新颖的结论。例如广雅的杨志明老师还收集了其他类似的高考题。
现在笔者经过学习geogebra这个神奇的软件之后，就想，这个蒙日圆能否不用求解的步骤，直接根据条件把这个点的轨迹作出来？
作法要点：用了两个指令（元素指令和切线指令）的嵌套。
笔者研究的时候，查询过指令手册，对于元素指令能画直线感觉非常奇怪！
Element(<List>,<Position of Element n>)；元素(<列表>,<元素位置>)。调用列表中的第 n 个元素。
后来思考之后，终于搞懂了，其实分步来作就很好理解啦！
第一步，先用指令“切线(g, c)”作出和直线g平行且和椭圆c相切的两条切线；第二步，手工选择一条切线和刚开始作的切线f，求交点E。嵌套指令“元素({切线(g, c)}, 1)”的好处：可以一步得到结果。最后用轨迹指令"轨迹(E, D)"，就可以得到点E的轨迹，如下：
同样的双曲线的准圆如下：
抛物线的准圆就是准线：
多么漂亮和神奇啊！
总结：假设蒙日当时研究这些问题的时候，有这么先进的软件进行画法几何的研究，或许成果会得多！反过来，如果我们的老师和学生现在把这个软件学懂学精，或许也能更好的理解几何学（包括欧氏几何、立体几何和解析几何）的精髓。怎么学？通过思考，看书或看文件，问人，动手实践，每天学一点，争取每天有一点收获，日积月累……更多文献请点击上面的蓝字或搜索“初中数学综合题的教与学”（也有高中内容）关注本公众号，谢谢！