双动点运动的图像制作（兼谈对geogebra的热爱）——2018年广东省中考数学压轴题探究

我和初中的老师一起在2019年5月的海珠区教研开始接触数学教学软件geogebra，马上被它的动态作图功能深深吸引。

我学习GGB的方法主要依靠自学，自学的效率低而且容易撞墙，但优点是印象比较深刻，知识比较牢固（参考华罗庚自学的例子）。一般自学的方法可能就是书中学和做中学。除了看网上的视频（因为关于它的书很少）外，我更多的是带着问题自己在电脑面前自己动脑尝试（做中学）。数学系出身的我们，当年既然能啃下艰涩难懂抽象的复变函数论，那么理论上人类的50%-80%的文本知识都应该能看懂。为了巩固学习的成果，还要及时的总结和发表。现代学习心理理论认为，学习最好的方法是输出。现在学生学习效果不好，可能就是仅仅被动的吸收而没有输出的机会或意识。

通过这三个月的学习，我看到了GGB无限的可能性，它一次一次地打破我的认知范围。

想起来之前有个人说过类似这样的话：

看一篇论文后，感觉自己对某个问题搞懂了；看十篇论文后，觉得自己根本就没懂；看一百篇论文后，会谨慎地认为自己对某一问题稍有了解。

 又想起来类似下面的这个图：

在这个图中，面积可以代表一个人学习的内容，而周长可以代表在当前学习内容下所面临的未知的领域。显然，红色圆的面积大，代表这个人知道的东西多，而同时红色圆的周长也比较长，代表这个人所接触的“不太明白”的地方也更多（这里引用了爱因斯坦的说法）。在很多领域，你很难做到面面俱到啥都会，唯一能做的就是，时刻保持一颗谦卑的心态和一定的好奇心。

 相比几何画板制作双动点的演示课件的困难，利用GeoGebra5.0都可以轻松完成．以广东省2018年数学中考第25题（3）为例．

单动点的作图很方便，一个描点指令几乎就可以搞定。但是这道题的难点有两个：

（1）如何控制两个动点同时在不同的折线上运动？

（2）如何体现两个动点的速度不相同？

目前已知解决上述问题的答案有三种，法一是描点指令+如果指令（这个让初学者最容易掌握），法二是单位向量法；法三是路径值法（这个是通法，但比较难懂，我沉浸几天还没有完全搞懂，估计再多用两天会理解）

先看看效果：

附上作图过程：

作法：本案例利用滑条+单位向量法+如果指令，来控制点的同时运动，而且运动速度不同。

作法缺点：动点在线段类的匀速运动都可以用这方法实现，但是动点在曲线类的匀速运动，是否可行？不行了。所以通法是路径值的方法。

本题的数学解答过程在网上资料很多。这里从略。

小结和反思：

有关动点在多边形边界上移动的问题在初中数学中很常见，它涉及到各元素（点、线，以及由它们组成的基本图形）在位置关系、数量关系上的变与不变．由于这些变与不变的关系不仅有显性的，而且还有隐形的，成为初中数学教与学的一个难点．所以要成为我们教师关注的对象。

作为练习，提供一道广州市第五中学初三下学期第二次月考的题目。

这道题的难点还在于双动点中一个点先停止！相关教程或许明后天推送。昨天想要今天发布的米勒问题，其实我看了一些文献，已经有人解决，但角度不同。如何在已有的文献中寻找自己的创新点，也是一个问题呢。还有很多值得探究的问题，如费马点，阿波罗尼斯圆……