进一步讲讲“问题的深化”
特级教师任勇献给数学老师的28条课堂建议,其中第28条:
NO.28 ”四化“促学
序化，就是要求学生建立知识大厦；
类化，就是引导学生将问题归类；
活化，就是融合知识和技能灵活地解决问题；
深化，就是将问题引深。
昨天的公众号文章已经写了深化,今天进一步的讲讲这个问题.
讲讲“深化”，即将问题引申（点击可阅读）
所谓“深化，就是将数学问题加以引申。常用的办法有一般化、类比、丰富命题结论、变换命题条件、交换命题条件与结论等。深化，是一种探索问题的方法，也是一种值得提倡的学习方法；深化，可以激发学生的学习兴趣，有效地提高数学水平。”
其实,深化也是命制创新试题的方法.
案例：★2019年广州市中考指导书P76，76．如图，等边△ABC的边长为6，在AC、BC边上各取一点E、F，连接AF，BE相交于点P。
（1）若AE＝CF，①求证：AF＝BE，并求∠APB的度数；②若AE＝2，试求AP•AF的值；
（2）若AF＝BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长。
先分析（1）若AE＝CF，①求证：AF＝BE，并求∠APB的度数；
注意动画更加方便观察运动中的不变量，从而发现阴影的两个三角形全等（SAS），从而得到∠ABE=∠CAF，再用外角证明出∠APE=60°，从而∠APB=120°。
现在分析:（1）若AE＝CF，②若AE＝2，试求AP•AF的值；
这个问题谁看到都会要思考一会！因为虽然在初中的常规思路是：看到要证明等积式，先证明比例式，即去寻找相似三角形。
但是要寻找哪对合适的相似三角形，需要花点时间尝试。尝试的原则是优先寻找AP，AF，AE所在的三角形（如果所在的三角形不相似，则要转化），即三角形AEP和三角形AFC，由第一个小问知，∠APE=∠C=60°，加上公共角∠EAP，所以这两个三角形相似（子母型相似），
推广：若AE＝m，试求AP•AF的值为多少？
从上面的证明过程来看，三角形AEP和三角形AFC总是相似的，所以同样的证明过程可知AP•AF的值为6m.
继续分析第（2）问：
若AF＝BE，分为两种情况，
①若AE=CF时，由（1）知，∠APB=120°，这是一个定角定弦模型！
所以点P的轨迹是以AB为弦的圆弧。
动画演示：
如上图，作出BPC三点所在的外接圆，假设圆心为D，根据圆周角定理知优角∠ADP=240°，从而劣角∠ADP=120°，作DG垂直AB与点G，从而∠ADG=60°，根据AG=3，
小结与反思：这个题目还可以作不少的变式、引申。从昨天发布的新观察上的题目，到今天的中考题，命题的方法之一就是对题目进行“深化”，即常用的办法有一般化、类比、丰富命题结论、变换命题条件、交换命题条件与结论等。这也研究中小学数学问题的常规方法。
至此暑假期间我写的系列小文章汇总如下：（点击可阅读）