利用动态图理解两类最短路径问题

典型问题：“将军饮马”。

例1：如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长最小值为     。

分析1：因为点P是固定的定点，

点M、N分别是射线OA、OB上的动点，所以△PMN的周长会有变化，从而有最小值（可以想象这个周长可以无限大而无最大值），但是如何显示最小值的情况？

分析2：传统的静态图有很大的局限，不能动态展示△PMN的周长的变化情况。现在有了ggb(当然本题用几何画板也行)，绘制动态图就方便多了，请看下图：

解答：动线段（或定点）应居于动点轨迹的两侧，本题的三条动线段PM、MN、PN在OA、OB的内侧。所以本题的关键是把定线段变换到动点轨迹的两侧，从而把三条动线段PM、MN、PN转化为连接两点之间的路径。如图，把点P分别沿OA、OB翻折得P₁、P₂，△PMN的周长转化为P₁M+MN+P₂N，这三条线段的和正是连接两个定点P₁、P₂之间的路径，从而转化为求P₁、P₂两点之间最短路径，得△PMN的周长最小值为线段P₁P₂＝OP＝6。

解析：本题的问题也在于动线段BM、MN居于动点轨迹AD的同侧，同样把点N沿AD翻折至AC上，BM+MN＝BM+MN'，转化为求点B到直线AC的最短路径，即BN'⊥AC时，最小值为2√2。

分析1：在教学的时候，有些同学说直接连接AB，不就是最短路径了吗？

这样错误的理解了实际问题！实际问题中，桥梁必须是垂直河岸的。即正确的理解题意，应该是如下的图形。

即求AM+MN+NB的最小值。如何求呢？

再看一下动态图！

解决：其中桥长MN为定值，可以想像把河岸m向下平移与n重合，同时把点A向下平移河宽，此时转化成n上的一点到A'、B的路径之和最短，即转化为定点A'到定点B的最短路径。如下图：

思路是把动线AM平移至A'M，A'N+BN即转化为求定点A'与定点B之间的最路径。本题的关键是定长线段MN把动线段分隔，此时须通过平移把动线段A'N、BN变为连续路径，也可以把点B向上平移20米与点A连接。

小结和反思：这两个问题是初二教材上两个最基本和常考的问题，可惜以前给学生看的是静态图形，而实际题意是一个动态的情境，利用ggb展现出动态图形，让学生经历探索和发现的过程，才能有助于培养学生的直观想象能力，而不是这个解题思路是天上掉下来的！