2019湖南衡阳中考数学第12题的探究（运动中的重叠面积）

近年来的数学中考中，经常遇到动态图形重叠面积问题。这类问题综合性强，难度大，一般处于选择题、解答题的压轴位置。

它以两个图形的相对运动或变化为主线，要求我们解答重叠部分面积有关的问题。解答它们时，要注意认真分析两个图形相对运动或变化的过程,看看符合要求的重叠部分的图形有几种情形，牢牢抓住两个图形相对运动或变化中的不变量和变化规律，分类考虑运动的对象在某一范围内的某一时刻图形所具有的特征，把它们当作已知条件，然后去处理相关的问题.

   先看一个“简单”的例子。

引例：边长为4的正三角形穿过长为6，宽为3的长方形时（底边在同一水平线上），

求：正三角形与长方形重叠部分的面积与时间的函数关系。

这个例子题意“简单明了”！即正三角形从左至右穿过矩形，求它们重叠部分的面积与时间的函数关系（题目还应该要假定是匀速运动，假定速度为1个单位）即题意的理解如下面的动图：

按照数学解题的要求，本题需要分情况讨论。但作为引例，我这里直接给出动画展示的结果。

这个动画太漂亮了！

说明1：这个动画是用神奇的ggb软件制作的。所用的方法为向量平移。

说明2：笔者觉得还不够，因为我们是数学教师，还想知道这个轨迹方程究竟是什么？

于是笔者自己做了第二动画，这次用的指令是点的运算规则、相交路径和轨迹指令。

大家发现没有：

简单的题目有大智慧！经过多次调整多项式拟合左边和右边的图像，发现效果不好!

 其实这个图像是分7段的函数图像，而不是3段！（左边三段，右边三段），所以这道表面简单的题目可能不适合作为考试用途。

现在看作为中考的题目。

题意和动画展示的情况如下（具体的制作方法，主要用了向量的运算和相关路径的指令，有兴趣的话我在旁边展示一下，可能很快学会，自己摸索要花较多时间，或者录成微课，可惜我在老家乡下没有这些录课设备，网络还是蹭三叔家的）

要记得我们是数学老师，而不是计算机老师。技术是为教学服务的。

所以这道题究竟怎么解？下面分析之。

说明：这个小文章我本来是准备投稿的，但是，投稿发表的文章格式还要进行修改。现在初中的杂志不少要版面费。本来我们教师也没有多少钱！唉，那发表在自己的公众号也行。

明天发布的问题是非常有趣的定弦张角的最大问题，我们学校曾经用来做2019年初三第15周的适应性训练，题目如下：

其中的第二问：

背景是历史上著名的米勒问题，编进了人教版高一的某个不起眼的角落。欲知后事如何，请听下回分解。