老苏的一道难题之解决

题目呈现：

如图，△ABC中，AB<AC<BC, D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD=BE=AC,△BDE的外接圆与△ABC的外接圆交于F点.求证: BF=AF+ CF.

分析1：题目条件看起来不难理解，但做起来有一定的困难。对于学生而言有以下的难点：

1，题目的圆有两个，使得线段变得错综复杂起来；

2，“BD=BE=AC”这个条件不知道如何使用，它们似乎不在同一个三角形中；

3，题设这样的条件“AB<AC<BC”学生见得少，更加不知道有什么用。

所幸的是，所求证的结论“ BF=AF+ CF.”倒是比较常见的线段和的问题！容易想到“截长补短”的方法进行证明。

尝试一：如下图，延长AF到G，使得FG=FC，（相当于把FC旋转到AF的直线上），下面往证AG=BF即可。由此想到连接CG，尝试去证明△BDF全等于△ACG.

现在分析△BDF是否全等于△ACG？全等的条件够吗？

已经有一对圆周角相等（∠DBF=∠CAG），还有一组边相等，（即BD=AC），离全等还差一个条件！

现在不可能去找边的条件了，即若找BF=AG，那正是要证明全等后的结论，也不能找DF=CG，否则就用了“边边角”。

所以只能去找找还有没有其它的角相等。

还剩下两组角可以用。

先看看能不能证明∠BDF=∠ACG。

经过“测量”，如下面的动画图，这两个角在变化过程中的确是相等的！

那么如何证明这两个角相等呢？这是本题最大的难点！

进一步分析：（借用广州苏德杰老师的分析）

[1]如上图，延长AF到G,使得FG=CF,连接CG, DF.

[2]由“同弧所对的圆周角相等”，“BD=BE”得，

∠BED=∠BDE=∠BFD=x，∠EBF=∠EDF=∠ACF=y,∠FBD=∠GAC=z.  

[3]在△BFD中，由“三角形内角和定理”得，2x+y+z=180° . 

 [4]由“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和”得，∠CFG=y+z.

[5]在△CFG中，由“三角形内角和定理”得，∠FCG+∠G+y+z=180°

故∠FCG+∠G=2x;

又FG=CF，故∠FCG=∠G=x.

[6]∠BFD=∠G=x，∠FBD=∠GAC=z，又BD=AC, 

故△BDF≌OACG (AAS)，所以BF=AG=AF+FG=AF+CF.

反思1：真不容易！为了破解题目中两个圆的条件，假设了三个角为未知数，建立了两个关于未知数的方程，最终是证明出∠FCG=∠G=x，从而得到全等的第三个条件——证明出了角相等！

反思2：这个思路自然吗？这个假设三个角为未知数的方法，学生接触过吗？学生能自然的想得到吗？

除此之外，还有更加自然的证明方法吗？

笔者一开始的确想通过上述的“截长补短”的方法来证明，但是在证明第三个角相等的条件时遇到了困难。

于是想到了题目的背景——四点共圆，使用托勒密定理得出了证明。苏德杰老师很快也在群里贴出了解答，真是“英雄所见略同”！

关于托勒密定理的证明、使用方法，笔者准备在下一期文章贴出。先给大家看看一个旋转放缩的效果图：

旋转可以构造全等，旋转也可以构造相似！托勒密定理可以用旋转构造相似的方法得到证明！

还有这个【漂亮的旋转放缩】如何在ggb做出这样的效果？笔者苦思良久，终于搞懂并做了出来——利用指令嵌套。

下期见！