全等模型之四——倍长中线模型（以2007广州中考第25题为例）

前言：之前介绍了全等的三大模型：手拉手模型，婆罗摩笈多模型，角含半角模型，如下：

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今天继续写全等模型之四——倍长中线模型，并且以2007年广州中考数学压轴题第25题为例。

引言：

倍长与中点有关的线段

☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、平移线段。

解析：如下图，延长AM到E，使得ME=AM，可证明三角形ABM全等于三角形EMC（SAS），得到CE=AB，

在三角形ACE中，

AC-CE<AE<AC+CE，即得

(AC-AB)/2<AM<(AC+AB)/2

所以2<AM<7.

由于篇幅不宜太长，现在直接上难题吧：2007年广州市的中考压轴题，这道题非常经典，解法多样，我想再过20年它还是经典的问题。

原题呈现：

25、（12分）已知Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM，

（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，求证：BM=DM且BM⊥DM；

（2）如图①中的△ADE绕点A逆时针转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。

动画理解一下题意：

反思1：当时应该限于技术，出题人给定了一个条件：“如图①中的△ADE绕点A逆时针转小于45°的角”，实际上观察上面的动态图，旋转小于45°的角的条件可以放宽到任意的角度。

分析1：先看第一问。即如下图：

利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以轻松得到如下的证明：

反思2：可惜这个“轻松的证明”并不能推广到任意的情况！即这个证明方法仅仅适用于这种特殊的情况，如图2，这个方法就不能奏效了！

分析2：第2问的证明方法很多，下面介绍“倍长中线+手拉手模型”的方法。

动画再演示一下：

看回静态图：

看看自己曾经所教学生的证明：

步骤不是很严谨，但是主要的思路没有错。

其它方法：

总结：只要遇到中点或中线的条件，则倍长中线，构造全等，是很有用的思路。

更多的模型需要在下期的文章介绍。

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