全等八大模型之四——角含半角进阶，兼谈区教研体会

开篇：正如上篇文章所说的那样，本公众号研究解题的出发点：数学教学离不开解题教学。但解题教学要在解决问题中实现数学育人的功能。

参考：形如 a + m·b 型结构最小值问题（阿波罗尼斯圆和胡不归两类问题）

2019年9月份的区教研上，先给老师一个小时，做2019年广州中考数学卷的后三题，（三选二）（亲身再感受学生考场上作题的感觉），因为笔者之前有过较深入的研究，这三道题不到半小时都做完了。有如下的感想：

第一，正如教研员所说，我们教师经常要思考并模仿：如果一个学生碰到这些新颖的难题，在毫无模式可套用，一时想不到思路的情况下，如何思考解决？作为教师自己如何在教学中讲清楚，讲透彻？

第二，中考改卷反映学生书写不严谨，跳步，逻辑混乱等问题，要引起足够重视。改卷是分步给分的。从初一开始就要重视培养学生的逻辑推理的能力（体现在书写的步骤上），具体方法是：

（1）平时渗透，例如去绝对值的讨论问题，要学生学会书写“因为……所以……”，在三角形、四边形的证明教学中，更加要重视这一点，避免跳步的失分。

（2）教师做好示范。

（3）对学生的优秀作业经常拿来展示。

第三，在初三第一轮复习中，既要注重基础，也要着力培优，教师应该对各种专题性的问题进行归类研究，研制科学可行的学案。以下专题值得重视：

（1）求最值专题；（方法多样）

（2）求线段长、线段之间的数量关系专题；

（3）求各种取值范围专题（本质上是寻找不等关系）

……

今天探讨的是2017学年区联考初二的一道压轴题：（争取图文并茂）

原题呈现：

分析1：

第（1）问虽然是送分题，但是仍要求学生用正确的依据来推理（三线合一），每个步骤各占1分，共3分，培养学生的逻辑推理能力。

分析2：

第（2）问开始变难了，要证明题目结论，这让我们想起了“三角形两边之和大于第三边”，但是目前这三条线段不在同一个三角形中，因此，有必要作辅助线，把这分散的三条线段集中到一个三角形中来。观察到等腰三角形的条件，想到旋转构造全等，如下图：

这样思路就有了：

如上图，把三角形ADF绕点A旋转到AEF'的位置，则由旋转得到三角形ADF全等于三角形AEF'，可得EF'=DF，AF'=AF,

然后证明出三角形AFH全等于三角形AHF'(SAS）（手拉手全等模型），

这样在三角形EHF'中，由于两边之和大于第三边，所以

EH+EF'>HF',

从而证明出DF+HEF>FH。

当然，还有其他旋转方法，如下图：

即把三角形AHE旋转90°后得到静态图如下：

连接H'F，同样的方法也可以得到证明。

若不用旋转的方式，也可以用截取的方式，如：

评析：改卷组提供的参考答案是如图④

但是这种思路很不自然，不易想到，没有充分利用原有的“手拉手模型”中相等的角！

反思1：几乎所有的“截长补短”构造全等的方法，就是在利用“旋转构造全等”，但“旋转构造全等”对于学生抽象思维要求较高，利用动态软件能充分的展示旋转的过程，化抽象为形象，让学生感觉新奇、有趣、好玩！

现在分析第3问：

动画理解题意：

由动画知，∠DPE不是能随意就得到90°，必须处于某一个特定的特殊位置，才恰好为90°，此时DK，RE，KR刚好处于特殊的线段数量和的关系。

注意到∠DAE=90°，∠KAR=45°，所以这是一个角含半角的模型。而角含半角必旋转！

旋转方法不唯一，如上图是其中一种。

如上图，旋转之后，很容易证明出三角形AKR全等于三角形AK'R（SAS）（∠DPR=90°的作用，就是联合∠DAE=90°，利用四边形内角和360°，和等角的补角相等，证明出∠AEK'=∠AKD），

所以有KR=RK'=RE+EK'，这样原命题得证。

评析：

第（3）问（改卷组提供的思路）：如第（3）问图1，延长RE至点Q，使得EQ=DK，（反思：这个辅助线做法是如何想到的？依据其实是截长补短构造全等）

反思2，如何才能想到这样的辅助线，把DK搬到EQ上去？

笔者认为要充分重视“搬运”的方法——即利用旋转或翻折构造全等（有些老师说，旋转初二还可能没有学到啊，那就先渗透，等以后学到旋转了再努力让学生感受旋转构造全等的作用）。平时教学中多用动态软件展示旋转或翻折的过程，让学生头脑中经常显示这样的动态过程，是解决这种问题的关键。

反思3：什么是自然的解法？老师的自然解法是不是学生的自然解法？尤其是改卷组提供的解法是不是学生的自然解法？

不一定啊！

作为教学的建议：学生的自然思路反映学生已有的知识基础和思维教验，同时自然思路也是学生思维能力提升的出发点和关键点，必须予以重视。教学中教师要鼓励学生展示自己的想法，以此了解学生思维的发生、发展过程，做到有的放矢。  顺着学生的自然思路去引导，让学生按照自己的思路不断探索，克服困难，最终获得突破。只有这样,解题教学才能贴近学生实际，才能引发学生的思考，学生的探究积极性得到激发，学生的信心得到提升，思维得到训练。最后学生再把自己最初的自然思路和优化方法进行比较，提升对优化方法的认可度，提高了思维的灵活度,逐渐让自己的思路走向“简约”。

篇外1：昨天看了一篇文章（吴非名师的），写得非常好，其中有一段话是：

教育的目的是让人能美好地生活，而非“活着”。在课堂上，学生需要看到思想之光，看到讲台前教师的智慧与情感；他是来学习的，不是来接受“奉献”的。讲台不是摆放祭品的供桌，而是人与人心灵沟通的平台……

篇外2：智育、体育、美育都是教育的一部分。

昨天还在假期，下午游泳了半小时，胃口好了，晚上睡觉也好多了。游泳真的是有氧健身运动之王。许多名人都有游泳健身的好习惯。我们大院的几个退休老师每天的生活就是早上或上午去越秀公园游泳，晚上晚饭后散步。身体健康长寿。

养成良好的生活习惯，注意健身，饮食有节，营养卫生，也是搞好工作、学习的不可缺少的环节。教育我们的学生也要这样。

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