角含半角好问题——旋转还是翻折？

开篇：正如上篇文章所说的那样，本公众号研究解题的出发点：数学教学离不开解题教学。但解题教学要在解决问题中实现数学育人的功能。

关于角含半角，笔者写过两篇这样的文章：（点击可以打开）

在群里研讨时，广州的麦少凤老师提出下面的一道题：

题目即:如图，在Rt△ABC中，D, E在斜边AB上，且满足∠DCE=45°，BC=4，AC=3，若AD=x，BE=y,求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.

麦老师提出:

参考答案所用的翻折，是不容易想到的。即

笔者所作的翻折方法的高清图形如下：

翻折方法的解决过程：

如上图,作BCE≌△FCE,△GCD≌△ACD，延长DG交EF于H，

∵∠HFG=∠B,∠HGF=∠CGD=∠A,∠A+∠B=90∘，

∴∠DHF=90∘，

∵FG=1，∠B=∠F，

∴HF=45,HG=35，

∵EH²+HD²=ED²，

∴(y−45)²+(x+35)²=(5−x−y)²，

∴y=（60−28x）/（21−5x）(0⩽x⩽157).

但是麦老师提出的教学疑问“借助翻折构造三角形的方法，在实际的教学中，非常少见，所以，如何引导学生呢？”

笔者提出：尽管翻折也是构造全等的方法，而且翻折产生的动点轨迹（是隐形圆）也是常见的考题，广州2019年第24题就出现过。

但是本题本质上一个角含半角的问题。利用旋转构造全等比较容易解决。

旋转方法可以向左转。如下：

静态图形如下：

也可以向右旋转，即：

静态图形如下：

具体的解题过程参考老苏写的简洁解法：

解题反思：

笔者进一步经过查询，此题是上海市的某次考试题：

评析：

此题的三个问非常经典，都是经常考的热门题目，值得大家收藏！

本文就是讨论了第三问，并且对原来的解答进行了改进，

希望同学、老师们看了有所收获！

……

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