解题比赛系列2：二次函数中的三元最值问题

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2019年12月海珠区数学教师的解题比赛，有一道难度相当大的二次函数综合题。之前写过一篇：（点击可打开）利用向量等和线巧解高考题，兼谈初中教师解题比赛体会对于学习者而言，学习不应该随着考试的结束而停止。而且，在考场上一时半会没有想到的数学问题，有宝贵的学习价值。

呈现原题：

第一题的第一小问是送分题，即

有意思的是第二小问。即证明：

这是一个三元最值问题！

解决的基本思路是把它转化为一元。

但当时笔者认为，这或许就是最基本的常考的“赋值法”。

用赋值法解题过程如下：

笔者当时在考场上一时无法判别最小值究竟是3还是8！

 现在原因搞清楚了。

赋值法，没有充分的利用条件：

究竟如果利用条件，解决这个三元最值问题呢？

方法是适当引入辅助元。

这个思路是竞赛经常出现而中考甚少出现的！

 

接下来如何去上述分式函数的最小值呢？

有两种方法，方法一：（老苏）基本不等式法

方法二：求导。求导对于这种分式函数的最值是可以手到擒来的！

求导的方法简洁，不需要不等式的变形技巧，所以是通法。

利用ggb软件，当然几何画板也行，我们还可以绘制出这个函数的图像，进行验证：

由图像看，当x=6时，g(x)的最小值为8.

当然还有其他的解法，如下：

基本思想还是把三元最值问题转化为一元最值来处理。

（学了一手，很开心）

现在分析第三问：

本质上，这完全是另外一道题。

这道题的解法很多，如下面的“硬算”法：

如果利用数形结合，上述的解法可以简化。如下面老苏的解法：

下面用ggb绘制图像辅助理解：

解题反思：

经过查询，本题的题源来自2016年长沙中考题：

此题其实还可以研究下去！

感谢参与讨论的各位老师！

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