弗莱登塔尔“再发现”数学教学思想的学习体会

编者按：著名数学家弗莱登塔尔认为，数学教学方法的核心是学生的“再创造”，因此，数学课应当展现一个“再创造”“再发现” 的过程，展现一个充满探索与交流、猜测与验证的活动过程，使学生获得“感知——发现——创造”的体验，了解和掌握认知活动的规律、特点与过程。

弗赖登塔尔认为，数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”。数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。因此，在教学过程中，教师应该充分利用学生的认知规律，已有的生活经验和数学的实际。在运用“现实的数学” 进行教学时，必须明确认识以下几点：

 第一，数学教学内容来自于现实世界．把那些最能反映现代生产、现代社会生活需要的最基本、最核心的数学知识和技能作为数学教育的内容． 

第二，数学教育的内容不能仅仅局限于数学内部的内在联系，还应该研究数学与现实世界各种不同领域的外部关系和联系。这样才能使学生一方面获得既丰富多彩而又错综复杂的“现实的数学”内容，掌握比较完整的数学体系．另一方面，学生也有可能把学到的数学知识应用于现实世界中去．

第三，数学教育应该为所有的人服务，应该满足全社会各种领域的不同层次的人对数学的不同水平的需求。

　（二）“数学化”原则 

弗赖登塔尔认为，数学教学必须通过数学化来进行。 现实数学教育所说的数学化有两种形式：一是实际问题转化为数学问题的数学化，即发现实际问题中的数学成分，并对这些成分做符号化处理；二是从符号到概念的数学化，即在数学范畴之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理。 对于前者，基本流程是： 
1、确定一个具体问题中包含的数学成分； 
2、建立这些数学成分与学生已知的数学模型之间的联系； 
3、通过不同方法使这些数学成分形象化、符号化和公式化； 
4、找出蕴含其中的关系和规则； 
5、考虑相同数学成分在其他数学知识领域方面的体现； 
6、作出形式化的表述。 对于后者，基本流程是： 
1、用数学公式表示关系； 
2、对有关规则作出证明； 
3、尝试建立和使用不同的数学模型； 
4、对得出的数学模型进行调整和加工； 
5、综合不同数学模型的共性，形成功能更强的新模型； 
6、用已知数学公式和语言尽量准确的描述得到的新概念和新方法； 
7、作一般化的处理、推广。 

（三）“再创造”原则 

弗赖登塔尔说的“再创造”，其核心是数学过程再现。学生“再创造”来学习数学的过程实际上就是一个“做数学”(doing mathematics)的过程，这也是目前数学教育的一个重要观点。需要特别注意的是，弗赖登塔尔的数学教育理论不是“教育学+ 数学例子”式的论述，而是抓住数学教育的特征，紧扣数学教育的特殊过程，因而有“数学现实”、“数学化”、“数学反思”、“思辩数学”等诸多特有的概念。他的著作多数根据自己研究数学的体会，以及观察儿童学习数学的经历，思辩性的论述比较多。于是有人批评说弗赖登塔尔的数学教育理论缺乏实践背景和实验数据。其实，他的许多研究成果尚未被大家仔细研究，有兴趣的读者不妨阅读他的著作。 

为了方便大家学习，以下的PPT截图选自西华师范大学杨孝彬教授的讲座

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总而言之，弗赖登塔尔所认识的数学教育理论有五个主要特征：
 （1）情景问题是教学的平台；
 （2）数学化是数学教育的目的；
 （3）学生通过自己的努力得到的结论和创造是教育内容的一部分；
 （4）“互动”是主要的学习方式；
 （5）学科交织是数学教育内容的呈现方式  

其中，再创造是Freudenthal数学教育理论最核心的部分，它是建立在数学是人类的一种活动的基础上的.

他反复强调：学习数学唯一正确的方法是实行再创造，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。数学发展的历程应在个人身上重现，但不是机械的重复。从数学发展的历程来看，这是符合人类认知规律的。

而现实中教材的编排却是，把思维过程颠倒过来，把结果作为出发点，去把其它东西推导出来。Freudenthal称这种为“教学法的颠倒”，这种颠倒掩盖了数学创造的思维过程，若不经过再创造，就难以真的理解数学，更别谈应用。

由此，得到现在数学教学设计理论两个最重要的“符合”：

第一，要符合数学知识的发展规律；

第二，要符合学生认知发展的规律。