从费马点问题谈利用旋转构造全等或相似的妙处（区教研系列3）

Original 刘护灵 geogebra与数学深度融合 2022-07-17

这又是一首好听的歌，下文可以边听边看哈。

（下面这篇文章写得还不错，笔者本来想投稿到刊物上的。但是可能需要版面费，，先发表在本公众号上吧。）

2019年初中区教研会上，区教研员罗老师为我们做了一个生动精彩的讲座——《求最值专题研究》，所举的例子都很有代表性，涉及的动点最值问题难度比较大，我们老师听了感觉收获很多。

昨天写了：

阿氏圆中的最大、最小值问题（区教研）

重叠面积的求法和动画制作（区教研系列2）

今天继续对罗老师的例子进行学习。

呈现原题：

12、如图3，若AB=1，D为△ABC内一点，求DA+DB+DC的最小值。

说明：此题来自2019年5月育才实验学校的初三数学一模试题，原题有三个问，上面是第三问。

知识背景是费马点问题。

笔者非常荣幸是钟进均名师工作室中的一员，上周五工作室和广州大学联合邀请了南京师范大学的喻平教授作了一个高水平的讲座——《发展学生数学核心素养的教学与评价设计》，其中讲到：

那么，什么是费马点问题？

用什么方法解决？

这个知识的本质是什么？

这个知识往何处去？

一、费马是谁？

皮耶·德·费马(Pierre de Fermat)是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。根据法文实际发音并参考英文发音，他的姓氏也常译为"费尔玛"(注意"玛"字)。

费马是17世纪数学家中最多产的明星。他是解析几何的发明者之一；对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿、莱布尼茨，概率论的主要创始人，以及独承17世纪数论天地的人。此外，费马对物理学也有重要贡献。费马最后定理在中国习惯称为费马大定理（n>2是整数，则方程x^n+y^n=z^n没有满足xyz≠0的整数解。），西方数学界原名"最后"的意思是:其它猜想都证实了，这是最后一个。定理本身看起来很简单，像是勾股定理的指数推广。费马曾经写下："我发现了一个美妙的关于这个定理的证法，可惜这里地方太小，写不下。"

实际上这个问题困惑了世间智者358年，在1994年才被数学家怀尔斯证明。这个故事是非常好的数学教育教材，大家网上搜索即可进行了解。

二、费马点模型引例：

有甲乙丙三个村庄，要在中间建一供水站向三地送水，现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小？

将此问题用数学模型抽象出来即为：

在如下图的△ ABC（3个内角均小于120°）中确定一点P，使P到三顶点的距离之和PA+PB+PC最小。

求解方法：先看下面的旋转动态图

得到的静态图如下：

即得到这样的静态图：

得到的结论真奇妙！即：

当的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°.

反思1：这个旋转60°构造全等的方法是怎么想到的？

或者依据什么想到的？