利用向量等和线巧解高考题，兼谈初中教师解题比赛体会

2019年12月的某个周五的下午参加了一个区数学教师的解题比赛，主要过来体验一种考试的感觉。体验自己学生或自己小孩参加这种有压力的考试的感觉。从中有几点收获。

第一，作为考试两个小时内限定完成一定数量的题目，这时候熟练非常重要，所谓熟练意味着这些题平常都研究透了，都做过了，这样就容易在限定时间做出来。但是这次解题比赛中有很多题目，既有初中又有高中题目，看起来比较怪，各个方面的知识点都有，这样有些题就要从头想起，花的时间多，这样效果就可能不太好。

第二，作为一个应考者，应该在全方位调整好自己，包括休息，饮食。

如果是作为父母要带小孩考试，那几天让他饮食清淡一点，晚上睡觉前散散步，好好的休息，养足精力。同时放下包袱放下压力。

第三，考试完了，结果不要去管它了，只要学生在两个小时之内都是尽力完成，发挥了他的已有的本事，结果就不应该有遗憾。

考试仅仅是学习结果的一个呈现。对于学习者而言，学习不应该随着考试的结束而停止。

笔者现在呈现的是填空题第16题。这道向量题目笔者当时没有想出解决的办法。原因可能是和这两年都待在初中有关，相关知识、模型不熟悉了，就像教高中的老师对于初中的全等、相似证明也不太熟悉那样。

呈现原题：（来自2017年全国理科3卷第12题）

【参考解析】如图，建立平面直角坐标系

当然上面的x,y也可以用圆的参数方程来解决。

但是笔者对于上述这些解法都不太满意！

向量具有形和数的特征，一定有更加简洁的解决方法！

还有，神奇的ggb软件是数形结合的良好载体，一定可以用来辅助解决这类问题。

方法二：等和线法：（等和线的知识，大家百度可以看到，这里只给出效果图）

是不是非常简单、简洁，体现出数学美！

或者来自浙江赵林老师的方法：

这个方法如此简洁！

过程过于简略，笔者进行了如下的补充：

进一步思考：如果不知道数学解法的情况下，直接用ggb求出这道题的解？ggb大神级别的孙生富老师给了一个解决的方案：

效果如下：

源文件的指令如下：

笔者对这个课件指令的解读：

通过这道题，笔者的体会：

1、深入研究ggb问题，会发现本质上是研究一个数学问题，当然数学问题用ggb来演示，可以使抽象的问题形象化，学生比较容易看懂；

2、向量的等和线，对于解决这类问题非常方便！其实是基于平面向量基本定理的深度理解。

……

笔者所作的等和线ggb课件也放在了百度网盘，请读者关注本公众号之后，回复：2017理科三卷12题ggb，

即可下载

下面欣赏笔者利用ggb制作神奇的莫比乌斯带

说明：本图是在ggb输入指令“曲面((1 + t / 2 cos(u / 2)) cos(u), (1 + t / 2 cos(u / 2)) sin(u), t/ 2 sin(u / 2), t, -1, 1, u, 0, 2π)”得到。

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