特级教师丘志明：从三次函数的拐点谈起——兼谈2017年广一模理科第12题

在百度百科上有我们敬爱的丘志明老师的介绍：

丘志明（1942—）广东兴宁人。高级教师。华南师范大学毕业。中学全国模范教师。曾任广东省韶关市北江中学副教务主任，广东省中学数学教研会常务理事，韶关市中学数学教研会理事长。

1986年被评为特级教师（那个年代笔者还没有开始读小学），1988年起定为市管专业技术拔尖人才，市优秀知识分子。1997年被评为广东省劳动模范。代表论著多本，我们读高中是时候已经用过他编著的立体几何教材，还有《高—代数补充讲义》等。

显然，他是我们前辈中的大咖级别的人物，也是我们华南师范大学数学系的知名校友，他和笔者的研究生导师王林全教授是师兄弟的关系。

很幸运的是，丘老师是笔者90年代后期在北江中学中学读高中时期的数学竞赛老师。他课堂教学幽默生动，讲课有趣而富含数学味道，学识渊博，风度翩翩。

在笔者大学毕业参加工作之后，笔者对数学教学和数学的问题也经常请教他，他还送了不少他精心编辑的高中数学教学资料给我，非常感谢！

2017年的广州数学高考一模题，一道难度相当大的问题。

丘老师虽然已经退休多年，但还是热心关注高中的教学，下面是他的文章：

注明一下：这个图是丘老师利用word画的，非常漂亮！他还送了一个非常实用的文章给我《在word中如何绘制精美的数学图形》，笔者看了非常赞叹！他使用并研究word的时候应该年级较大了，还能研究得如此高深，令人佩服！

【问题1】：设点M（x₀，f(x₀)）是三次函数f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c(a，b，c是常数)的拐点．求x₀，并证明点M（x₀，f(x₀)）是函数y＝f(x)图象的对称中心．

略解：求导得：f ¢(x)＝3x²＋2ax＋b，f ¢¢(x)＝6x＋2a，令f ¢¢(x)＝0得x₀＝－a．

不失一般性并为了简化运算，设a＝－3m，则x₀＝m，f(x)＝x³－3mx²＋bx＋c

f(x₀)＝f(m)＝m³－3m³＋bm＋c＝－2m³＋bm＋c．M(m，－2m³＋bm＋c)

设点A(x_A，y_A)，B(x_B，y_B)是y＝f(x)图象上关于点M的对称点

则x_A＋x_B＝2m，x_B＝2m－x_A，y_A＝f(x_A)，y_B＝f(2m－x_A)

要证点M是函数y＝f(x)图象的对称中心，

只需证f(x)＋f(2m－x)＝2f(m)＝－4m³＋2bm＋2c恒成立．

由f(x)＝x³－3mx²＋bx＋c得：

f(x)＋f(2m－x)＝(x³－3mx²＋bx＋c)＋[(2m－x)³－3m(2m－x)²＋b(2m－x)＋c]

＝[x³＋(2m－x)³]－3m[x²＋(2m－x)²]＋[bx＋b(2m－x)]＋2c

＝(x³＋8m³－12m²x＋6mx²－x³)－3m(x²＋4m²－4mx＋x²)＋2bm＋2c

＝8m³－12m²x＋6mx²－6mx²－12m³＋12m²x＋2bm＋2c

＝－4m³＋2bm＋2c＝2 f(x₀)＝2f(m)，∴f(x)＋f(2m－x)＝2f(m)恒成立

∴点M是函数y＝f(x)图象的对称中心.

ggb画图验证：

ggb画图验证：

解题反思：这道题考察的是三次函数的中心对称性质，并不是平常常见的极值最值。

笔者感悟1：

后面的问题3,4是丘老师的编题。

怎么样才能编制出新试题?

必须透彻理解问题的本质，才能编制出各种不同难度水平的试题。

笔者感悟2：

丘老师的这篇文章，由浅入深的阐释了三次函数的对称性质，非常值得我们学习！

丘老师还勉励我一句话：教师要对数学问题进行深入思考研究，但教学的时候，要创设机会，把学生推向前台，要让学生觉得“是他自己思考得出来的”，让学生有学习的成就感——多么精辟而重要的教学思想啊！

下面欣赏一下美丽的校园风景……这么大的像公园一样的校园在广州是很少能见到的。母校，我们学子永远爱你！

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