初一培优系列7：有折返的数轴动点问题简解

林群院士在《怎样学好数学》提到：“我们在学习数学时很忌讳不讲发明，只讲证明；不讲道理，只讲定理。所以我希望数学文化发生改变，变成讲道理的学问，变成讲发明的科学。”

对于怎么学好数学方面，他认为学微积分跟学别的数学一样，“假传万卷书，真传一案例”，把一个案例学好，你就把整个微积分的精神掌握了。

在反驳很多人认为的“走万里路，读万卷书”方面，林群院士的经验不是这样的，他说因为他是很笨的人，他读书读得很慢，不可能读万卷书。他读一本书就满头大汗，读几年都读不懂，最后才发现上当了，原来真传只有一个案例。他从要讲的从哲学的角度来讲学习方法，让我们记住：假传万卷书，真传一案例。

讲得真好！

牛顿说：十个定理不如一个例子。

通过案例或典型例子学习数学解题方法，是一个基本的途径。

数轴动点问题处理的基本策略：

1、数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。

即数轴上两点间的距离= 右边点表示的数－左边点表示的数。

2、 如何表示运动过程中的数：

点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。

即一个点表示的数为 a，向左运动 b 个单位后表示的数为 a－b；向右运动 b 个单位后所表示的数为 a+b。

（简单说成 左减右加）

3、 分类讨论的思想：

数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况种的分类讨论

4、 绝对值策略：

对于两个动点 P,Q，若点 P,Q 的左右位置关系不明确或有多种情况，可用 p,q两数差的绝对值表示 P,Q 两点距离，从而避免分复杂分类讨论

5 、中点公式：若数轴上点 A,B 表示的数分别为 a,b，M 为线段 AB 中点，则 M 点表示的数为（a +b ）/2.

典型例题：（第10周周末提高题）

1．已知数轴上的A、B两点分别对应的数字为a、b，且a、b满足|4a－b|＋(a－4)²＝0．

(1)直接写出a、b的值；

(2)P从A出发，以每秒3个长度的速度沿数轴正方向运动，当PA＝PB时，求P运动的时间和P表示的数；

(3)数轴上还有一点C对应的数为36，若点P从A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，同时，Q从B点出发，以每秒1个长度的速度向正方向运动，点P运动到C点立即返回再沿数轴向左以原来的速度运动．当PQ＝10时，求P点对应的数．

分析与解：

（1）a=4，b=16．点A. B的位置如图所示．

现在分析第(2)问：P从A出发，以每秒3个长度的速度沿数轴正方向运动，当PA＝PB时，求P运动的时间和P表示的数；

设运动时间为ts．则P在数轴上的数为：4+3t

由题意：PA＝4+3t-4=3t；PB＝16-（4+3t）=-3t+12

由PA＝PB，得3t=-3t+12

解得t=2，

此时P表示的数为10.

评析：这个还有其他解法，如：（郑世政、郭文金、古思毅同学的方法）

反思1：此题为什么不需要用绝对值呢？请大家思考一下。

现在分析第（3）问：

(3)数轴上还有一点C对应的数为36，若点P从A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，同时，Q从B点出发，以每秒1个长度的速度向正方向运动，点P运动到C点立即返回再沿数轴向左以原来的速度运动．当PQ＝10时，求P点对应的数．

动画理解题意：

首先学生要分析清楚，

点Q从点B出发，达到点C的时间为（36-16）/1=20秒；

点P从点A出发，达到点C，所用的时间为（36-4）/3=32/3秒，

这段时间内P、Q是追及问题；

点P到达点C之后，返回，此时P、Q是相遇问题。

下面分情况讨论：

（1）当0<t<32/3时，点P的数为：4+3t;

点Q的数为16+t

由题意：PQ=|16+t-(4+3t)|=10，

解得t=1或t=11

因为11>32/3,舍去。

所用t=1.

此时点P的数为7；

（2）t>32/3时，点P开始从点C返回，

点P的数为36-3（t-32/3）=68-3t;

点Q的数为16+t

由题意：PQ=|16+t-(68-3t)|=10，

解得t=31/2或t=21/2，

因为21/2<32/3，舍去.

此时点P为31/2.

综上所述，t=1，此时点P的数为7；或t=31/2，此时点P为31/2.

解题反思2：这个方法对时间进行分类，步骤比较清楚。

当然还有其他作法：如古思毅和郑世政同学 ：

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