geogebra基础入门9：迭代的简单应用（毕氏螺线）

“勾三股四弦五”，是现在我们耳熟能详的“勾股定理”中的一个特例，它早在西汉的数学著作《周髀算经》中就已经出现。遗憾的是，我们的祖先没能从特例中发现这一定理的普遍意义，而拱手将这一定理的发现权及冠名权让给了古希腊著名的数学家和哲学家毕达哥拉斯。他第一个用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和，因而这条定理在西方以他的名字命名，被称为“毕达哥拉斯定理”。

相传，毕达哥拉斯应邀参加一次豪华宴会，不知道什么原因，大餐迟迟不上桌。善于观察和理解的毕达哥拉斯没有注意到这些，而是被脚下排列规则、美丽的方形石砖所深深吸引。他并不是欣赏它们的美丽，而是思考它们和“数”之间的关系。于是，在大庭广众之下，他蹲在地板上，拿了画笔在选定的一块石砖上以它的对角线为边画一个正方形，结果惊奇地发现这个正方形面积恰好等于两块砖的面积和。开始他以为这只是巧合，但当他把两块石砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形时，这个正方形之面积相当于5块石砖的面积。这也就是说它等于以两股为边作正方形面积之和。

毕达哥拉斯被这一惊奇的发现惊呆了，他明白这绝不是一种巧合。回到家后，他又作了进一步演算，最终证明了“勾股定理”。据说，他为了庆祝这一伟大的发现，特宰杀了一百头牛，在学院里大摆宴席狂欢。

对数的研究，毕达哥拉斯达到了痴迷的程度，且把它神秘化。他认为数是众神之母，是普遍的源头，并把它上升到了美学高度，让人们站在审美的角度来理解“数”，理解“和谐”和“美”。

二、美丽的毕达哥拉斯螺线，由geogebra绘制

动画效果

三、绘制教程

geogebra基础入门9：迭代的简单应用（毕氏螺线）

广州市第五中学刘护灵

参考：唐大仕、朱安强教授

· （一）了解几个基本指令和作用

（1）UnitPerpendicularVector( ( <Line>) ) ；

单位法向量( (<< 直线|| 射线> >) ) 。返回给定线的长度为 1 的法向量。案例：“单位法向量(3x+4y=5)”得到向量 u。

（2）UnitPerpendicularVector( ( <Segment>) ) ；

单位法向量( (<< 线段>>) ) 。返回给定线段的长度为 1 的法向量。案例：设“s=线段((1,1),(4,5))”。“单位法向量(s)”得出向量 u。

当然还有UnitPerpendicularVector( ( <Vector>) ) ；单位法向量( (<< 向量> >) )，

UnitPerpendicularVector( ( <Plane>) )；单位法向量( (< < 平面> >) ) 。这些指令我们用到再学习。

（3）Iteration( (t <Function>,<Start r Value>,<Numberfof Iterations>) ) ；

迭代( (<< 函数 >,< 起始值 >,<迭代次数> >) ) 。

用指定的起始值将函数迭代 n 次。

（4）Iteration( (e<Expression>,<Variable tName>,...,<Start r Values>,<Numberf of Iterations>) ) ；

迭代( (<< 表达式 >,< 变量 >,< 起始值 >,< 次数> >) ) 。

用指定的起始值将表达式迭代 n 次。结果显示同一个参数变量迭代的最后一个元素（终像）。迭代是将原像（种子）按照一定的规则，变为初像，初像再按照同样的规则再执行下去的组合变换。本指令返回的是迭代的终像，不是迭代的过程。其中“次数”就是迭代深度，“起始值”就是原像（种子），“变量”是迭代规则代表“起始值”的参数，“表达式”就是迭代规则。

案例：设 a=1，b=4，“迭代(a1+b1,a1,b1,{a,b},5)”得到“23”。具体为：当迭代次数为 1时，a1=a=1，b1=b=4，当迭代次数为 2 时，表达式 a1+b1=5；当迭代次数为 3 时，a1=4，b1=5，表达式 a1+b1=9；当迭代次数为 4 时，a1=5，b1=9，表达式 a1+b1=14；当迭代次数为 5 时，a1=9，b1=14，表达式 a1+b1=23；

注：“起始值”必须使用花括弧圈住；想得到迭代过程，请使用“迭代列表”指令。注：如果迭代的初始值和表达式针对几何对象，迭代的结果就是几何对象。

（5）IterationList((e<Expression>,<Variable t Name>,...,<StartrValues>,<Number f of Iterations>) ) ；

迭代列表( (< < 表达式 >,<变量 >,< 起始值 >,< 次数> >) ) 。给出长度为 n+1 的列表，其中第一个元素是起始值函数值，其后为函数每次迭代的结果值。每次迭代后，列表中最后的元素会替代表达式中的变量，这就要求有几个起始值就有几个变量。

案例：设有点 A 和 B，指令“迭代列表(中点(A,C),C,{B},3)”迭代值为：C 0 =B，C 1 =中点(A,C 0),C 2 =中点(A,C 1 ),C 3 =中点(A,C 2)且得出列表{C 1 ,C 2 ,C 3 ,C 4 },对于 A(0,0)和 B(8,0)的结果就是列表“{(8,0),(4,0),(2,0),(1,0)}”。

案例：设有数值“f_0”和“f_1”，“迭代列表(a+b,a,b,{f_0,f_1},5)”得出的列表前两个元素是 f 0 和 f 1 ，后边的就是迭代计算值，f 2 =f 0 +f 1 ,f 3 =f 1 +f 2 ,f 4 =f 2+f 3 ,f 5 =f 3 +f 4 ，对于“f 0 =f 1=1”的结果就是列表“{1,1,2,3,5,8,}”

这就是著名的斐波那契数列。

注：参见“迭代”指令。

注：如果迭代的初始值和表达式针对几何对象，迭代列表的结果就是几何对象。

（二）绘制步骤

序号	名称	描述（定义）	数值
1	点 O		O = (0, 0)
2	点 A		A = (1, 0)
3	点 B	A + 单位法向量(线段(O, A))	B = (1, 1)
4	点 C	B + 单位法向量(线段(O, B))	C = (0.29, 1.71)
5	数字 n		n = 20，即建立一个整数滑条
6	列表 points	迭代列表(P + 单位法向量(线段(O, P)), P, {A}, n)	points = {(1, 0), (1, 1), (0.29, 1.71), (-0.69, 1.88), (-1.63, 1.53), (-2.31, 0.8), (-2.64, -0.14), ……}

7	列表 l2	序列(线段(元素(points, k + 1), O), k, 0, n)	l2 = {1, 1.41, 1.73, 2, 2.24, 2.45, 2.65, 2.83, 3, 3.16, ……}
8	列表 l1	序列(线段(元素(points, k), 元素(points, k + 1)), k, 0, n)	l1 = {?, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}
9	列表 l4	序列(文本("$\sqrt{" + (k) + "}$", points(k), true, true), k, 2, n + 1)	l4 = {“$\sqrt{2}$”, “$\sqrt{3}$”, “$\sqrt{4}$”, “$\sqrt{5}$”, “$\sqrt{6}$”, “$\sqrt{7}$”, “$\sqrt{8}$”, “$\sqrt{9}$”, ……}