ggb绘制美丽的爱心曲线（心形线）
关于心形线的爱情故事
最近某矿泉水的广告经常出现数学家笛卡尔和美丽小公主的故事。
据说此广告的灵感来源于一书《数学的故事》，这本书里面说到了数学家笛卡尔的爱情故事。笛卡尔于1596年出生在法国，欧洲大陆爆发黑死病时他流浪到瑞典，1649年，斯德哥尔摩的街头，52岁的笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀。几天后，他意外的接到通知，国王聘请他做小公主的数学老师。跟随前来通知的侍卫一起来到皇宫，他见到了在街头偶遇的女孩子。从此，他当上了小公主的数学老师。
小公主的数学在笛卡尔的悉心指导下突飞猛进，笛卡尔向她介绍了自己 研究的新领域--直角坐标系。每天形影不离的相处使他们彼此产生爱慕之心，公主的父亲国王知道了后勃然大怒，下令将笛卡尔处死，小公主克里斯汀苦苦哀求后，国王将其流放回法国，克里斯汀公主也被父亲软禁起来。
笛卡尔回法国后不久便染上重病，他日日给公主写信，因被国王拦截，克里斯汀一直没收到笛卡尔的信。笛卡尔在给克里斯汀寄出第十三封信后就气绝身亡了，这第十三封信内容只有短短的一个公式:r=a(1-sinθ)。国王看不懂，觉得他们俩之间并不是总是说情话的，将全城的数学家召集到皇宫，但没有一个人能解开，他不忍心看着心爱的女儿整日闷闷不乐，就把这封信交给一直闷闷不乐的克里斯汀。
公主看到后，立即明了恋人的意图，她马上着手把方程的图形画出来，看到图形，她开心极了，她知道恋人仍然爱着她，原来方程的图形是一颗心的形状。这也就是著名的"心形线"。
国王死后，克里斯汀登基，立即派人在欧洲四处寻找心上人，无奈斯人已故，先她一步走了，徒留她孤零零在人间...
据说这封享誉世界的另类情书还保存在欧洲笛卡尔的纪念馆里。
真相：
在历史上，笛卡尔和克里斯蒂娜的确有过交情。但笛卡尔是1649年10月4日应克里斯蒂娜邀请才来到瑞典，而当时克里斯蒂娜已成为了瑞典女王。笛卡尔与克里斯蒂娜谈论的主要是哲学问题而不是数学。有资料记载，由于克里斯蒂娜女王时间安排很紧，笛卡尔只能在早晨五点与她探讨哲学。笛卡尔真正的死因是因天气寒冷加上过度操劳患上的肺炎，而不是黑死病。
笛卡尔的直角坐标系
在人类的数学史上，法国的笛卡儿占有重要的位置。他对数学的重大贡献，是他发现了一种新的数学方法，把几何和代数这两门独立发展的数学学科结合成一门新的独立分支——解析几何。
义务教育从五年级开始，一直到初三，笛卡尔直角坐标下的函数曲线（正比例、反比例、一次函数、二次函数等等）都是重要的学习内容。
历史意义
从笛卡儿(Descartes :R., 1596. 3.31~1650.2.11)引进了直角坐标系以后，人们才得以用代数的方法研究几何问题，才建立并完善了解析几何学，才建立了微积分。
法国数学家拉格朗日(Lagrange J.L, 1736. 1. 25~ 1813. 4.10)曾经说过:”只要代数 同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但是，当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力。从那以后，就以快速的步伐走向完善。”
恩格斯也曾对笛卡尔在数学上的贡献给予高度评价，他在《自然辩证法》中说：“数学中的转折点是笛卡儿的。”
我国数学家华罗庚说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难入微。形数结合百般好，隔裂分家万事非。切莫忘， 几何代数统一体，永远联系，切莫分离。”
这些伟人的话，实际上都是对笛卡儿的贡献的评价。
笛卡儿的坐标系不同于一个一般的定理，也不同于一-段一一般的数学理论，它是一种思想方法和技艺，它使整个数学发生了崭新的变化，它使笛卡儿成为了当之无愧的现代数学的创始人之一。
利用ggb形象演示各种心形线
公式一：r=a(1-sinθ)
这是一个极坐标系下的方程，ggb强大的绘图功能即可轻松实现。
当a>0时，静态图形如下：
这个笛卡尔给小公主的心形线原来是这样的！感觉更像一个苹果。
360百科上的图形是错的：
形状“放倒了”！这是不对的。
当然ggb也能给这个轨迹涂色。
涂上绿色就像一个大苹果。或许笛卡尔送给小公主的是一个苹果？
利用gbb中的的stroke功能，还可以添加苹果蒂。
公式二：r=acosd(sin(θ))
在ggb中直接输入上述公式，得到如下心形线：
涂色之后变成：
这个还更像爱心一点！
公式三：(x² + y² - 1)³ = x² y³
直接在ggb输入如上的隐式曲线，得到如下的图形：
这个图形很漂亮，但是这个隐式曲线并不是闭合的，所以不能直接对这个轨迹涂色。
公式四：x^(2 / 3) + 0.99(20.0101 - x²)^(1 / 2) sin(a x)
移动滑条，得到的是一系列变化的曲线。
当a 比较大时，接近一个漂亮的心形图形，但不算是心形线哦。
看看动画效果：
反思1：ggb强大的地方在于可以随意设滑条参数，改变函数，例如改成余弦cos（x）函数，也能得到如下的心形：
这个心形图形中间有点残缺，不如正弦函数好看。
但把其中的+号改成-号，即变成x^(2 / 3) - 0.99(20.0101 - x²)^(1 / 2) cos(a x)，则效果如下：
是不是比第一个正弦的心形图好看？
读者还可以自行改变各种参数，探索上述公式的神奇美丽的图像！
……
反思2：笔者曾经想尝试在七年级综合实践开设这样的课程：
1. 初一培优系列5：绝对值与“奇点偶段”
2. 初一培优系列7：有折返的数轴动点问题简解
4. 初一培优系列3：史上最难？2018年区初一上半学期数轴动点问题
6.（微课）初一培优系列8：动态双角平分线的重叠角度和方程问题
7.（微课）七年级上期末热点：线段和角度计算中的分类讨论问题
8.初一培优系列10：角度计算中的分类讨论，兼谈16周区教研
1. （胡不归模型）关联图形，探究本质——2019年中考数学素养导向的试题观察7——2019年重庆数学中考第26题
2. 几何问题代数化，发展模型思想——2019年中考数学素养导向的试题观察6——2019年温州数学中考第15题
3.读罗增儒教授的解题：2019年中考数学素养导向的试题观察5——2019年长沙数学中考第26题4.动静结合中交替演绎定性分析与定量刻画，2019年中考数学：素养导向的试题观察4——2019广东25题（）5.2019年中考数学：素养导向的试题观察1——2019连云港16题6.2019年中考数学：素养导向的试题观察2——2019宿迁27题7.2019年中考数学：素养导向的试题观察3——2019南京16题（定弦定角）
教研学习篇
1.弗莱登塔尔“再发现”数学教学思想的学习体会
2.特级教师的论文学习系列2——一道课本例题的变式研究
3.乾坤大挪移——转化法妙解三角形周长、面积问题（区教研系列5）
5.从费马点问题谈利用旋转构造全等或相似的妙处（区教研系列3）
7.特级教师丘志明：从三次函数的拐点谈起——兼谈2017年广一模理科第12题
1. 2017年高考理科解析几何题的ggb制作和探索，兼谈问题提出
7.双动点运动的图像制作（兼谈对geogebra的热爱）——2018年广东省中考数学压轴题探究
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