geogebra基础入门16:动态文本和LaTeX的初步应用（祖冲之的圆周率）

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一、历史故事

祖冲之，公元429年（南朝宋元嘉六年）出生于建康（今南京），他是世界上第一个把圆周率的准确数值计算到小数点以后七位数字的人。直到一千年后，这个记录才被阿拉伯数学家阿尔·卡西和法国数学家维叶特所打破。

那么，祖冲之是如何取得这样重大的科学成就呢？可以肯定，他的成就是建立在前人研究的基础之上的。从当时的数学水平来看，祖冲之很可能是继承了刘徽所创立和面卓首先使用的割圆术，并且加以发展，因此获得了超越前人的重大成就。

割圆术的基本方法：圆内接正n边形的边数越多，各边长的总和就越接近圆周的实际长度。但因为它是内接的，又不可能把边数增加到无限多，所以边长总和永远小于圆周。

祖冲之按照刘徽的割圆术之法，设了一个直径为一丈的圆，在圆内切割计算。当他切割到圆的内接一百九十二边形时，得到了“徽率”的数值。但他没有满足，继续切割，作了三百八十四边形、七百六十八边形……一直切割到二万四千五百七十六边形，依次求出每个内接正多边形的边长。最后求得直径为一丈的圆，它的圆周长度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之间，上面的那些长度单位我们现在已不再通用，但换句话说：如果圆的直径为1，那么圆周小于3.1415927、大大不到千万分之一，它们的提出，大大方便了计算和实际应用。

在古代，要作出这样精密的计算，是一项极为细致而艰巨的脑力劳动。我们知道，在祖冲之那个时代，算盘还未出现，人们普遍使用的计算工具叫算筹，它是一根根几寸长的方形或扁形的小棍子，有竹、木、铁、玉等各种材料制成。

通过对算筹的不同摆法，来表示各种数目，叫做筹算法。如果计算数字的位数越多，所需要摆放的面积就越大。用算筹来计算不象用笔，笔算可以留在纸上，而筹算每计算完一次就得重新摆动以进行新的计算；只能用笔记下计算结果，而无法得到较为直观的图形与算式。

因此只要一有差错，比如算筹被碰偏了或者计算中出现了错误，就只能从头开始。要求得祖冲之圆周率的数值，就需要对九位有的小数进行15927加、减、乘、除和开方运算等十多个步骤的计算，而每个步骤都要反复进行十几次，开方运算有50次，最后计算出的数字达到小数点后十六、七位。

随着科学的发展，现在利用数学动态软件geogebra,可以轻松的在几分钟之内完成这个割圆术产生圆周率的制作，不得不令人更加欣赏科技和geogebra的强大魅力！

二，geogebra割圆术的制作

先看看效果图：

作图过程演示：

反思1：

此例最重要的是第一个序列指令：割圆的方法

序列(线段((R cos((360°) / n i), R sin((360°) / n i)), (R cos((360°) / n (i + 1)), Rsin((360°) / n (i + 1)))), i, 0, n - 1)

作用是把等分圆周上的点，用线段进行连接。从而产生正n边形。

反思2：要体现圆周率pi的变化，这里使用了动态文本，即

"正n边形的周界 = " + l + " × " + n +  " = " + (l n) + " cm"

"π ≈\frac{周界}{直径}=\frac{" + (公式文本(l n)) + " \; cm}{" + (公式文本(2R)) +" \; cm}=" + (公式文本(l n / (2R))) +""

上面两个文本，其实可以在工具栏——文本工具，利用鼠标点击，就可以简单的完成。

例如第二个文本：

反思3：ggb可以修改精确度，我把精确度修改到小数点后15位，把n提高到正6144边形，得到圆周率为3.1415925……

而祖冲之当时是纯手工算到了正二万四千五百七十六边形，真是人惊叹！

反思4，ggb可以继续修改正n边形的边数，下面修改到祖冲之的一样，为正24576边形，得到如下的圆周率，为3.14159265033691……

随着n的增加，笔者的电脑开始稍微变慢了。可能需要更强大的电脑硬件支持，可以计算得出更准确的圆周率……

是不是很好玩呢！

……

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