geogebra基础入门22： 序列、迭代、映射大比拼（2017南京高考一模）

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最近几期经典回顾

一、问题提出

今天探讨的是群里老师提出的问题（2017南京高考一模）

问题：这道题这么作图？（A，B点坐标搞不定）

把题目放大：

目标绘制出来的效果如下：

先说说此题数学上的解：

二，Geogebra的绘制方法

方法一：逐个点绘制（笔者）

说明：

（1）每一个点Bk都是利用过点Ak的直线指令（用了方向向量）来绘制的

例如：B2=交点(直线(A_2, A_2 + (1, sqrt(3))), f)

其中的(1, sqrt(3) ，就是过点A2的且斜率为 sqrt(3)的直线的方向向量。

（2）每一个点Ak都是利用点Bk旋转60°得到的，例如

A3=旋转(B_2, -(60°), A_2)

（3）逐个点绘制的好处在于，可以精确的绘制前面几个点的坐标，可以马上观察出Ak的规律，从而实现数学上的解题。

缺点是当点的个数很多的时候，这个劳动量就很大。

方法二：邓兵老师的映射方法

上面的图不清楚，笔者做了下面这个

说明：

（1）映射指令的学习

（2）l1=映射(多边形((2^(n - 1) - 1, 0), (2^n - 1, 0), 3), n, {1, 2, 3, 4, 5})

这是一个非常巧妙的利用映射指令绘制多个正多边形的方法。

难点是找到多边形的点的规律，即下面的表达式

多边形((2^(n - 1) - 1, 0), (2^n - 1, 0), 3)

本质上也是先在数学上求解出结果，才能利用这个方法绘制

（3）l2=映射((2^(n - 1) - 1, 0), n, {1, 2, 3, 4, 5, 6})

l3=映射((3 / 2 * 2^(n - 1) - 1, sqrt(3) / 2 * 2^(n - 1)), n, {1, 2, 3, 4, 5})

功能是利用映射分别绘制出A，B一系列的点。

前提也是要找到点A，B的表达式，即点的规律，也是不容易的。

（4）l6=序列(文本("B_{" + (i) + "}", l3(i) + 单位法向量(f) / 2), i, 1, 6, 1)

l5=序列(文本("A_{" + (i) + "}", l2(i) + (0, -0.5)), i, 1, 6, 1)

这两个序列+文本指令，而且对点AB的位置进行了微调，非常实用！

值得大家记下来！

方法三：赵林和桂群成老师的迭代+位似方法

（1）迭代列表指令的学习：

注：参见“迭代”指令。

注：如果迭代的初始值和表达式针对几何对象，迭代列表的结果就是几何对象。

    （2）笔者按照赵老师做的指令如下

（3）要确保能获得迭代，首先要绘制一个最基本的初始图形，即正三角形poly1

(2)此题是迭代+位似指令的嵌套，即

l1=迭代列表(位似(p, 2, (-1, 0)), p, {poly1}, 10)

位似指令的格式：

位似( <几何对象>, <位似比>, <位似中心> )

即，每一个三角形和后一个三角形的规律是以（-1,0）作为<位似中心> ，位似比为 (-1, 0)；

这个p是指迭代变量

这个做法非常巧妙！

（3）l2=迭代列表(位似(p, 2, (-1, 0)), p, {B_1}, 10);

l4=迭代列表(位似(p, 2, (-1, 0)), p, {A_1}, 10)

上面两个指令得到的一系列的B,A

（4）l3=序列(文本("B_{" + (i) + "}", l2(i) + 单位法向量(f) / 2), i, 1, 10, 1)

l5=序列(文本("A_{" + (i) + "}", l4(i) + (0, -0.5)), i, 1, 10, 1)

这两个指令非常漂亮，即序列得到点，批量命名！

贵州的【管理员】【贵州】桂群成也认为，迭代+位似是比较容易的方法，如下：

方法四：朱亮老师的序列+位似方法

这种特殊情况序列足够了，不需要迭代。

的确，这道题用序列也够了,笔者做的如下：

其他点的AB 的标注也是和上面一样，也要先利用序列+位似，得到一系列的点A,B之后，再利用序列+文本指令

方法五：孙生富老师的迭代+序列方法

孙老师的课件让一般人是有些难理解的，因为差距有点大。这里直接给出定义给大家学习体会：

序号	名称	数值	定义
1	数字 n	n = 6
2	列表 l1	l1 = {(0, 0), (1; 60°), (1, 0), (2.65; 40.89°), (3, 0), (6.08; 34.72°), (7, 0), (13; 32.2°), (15, 0), (26.85; 31.07°), (31, 0), (54.56; 30.53°), (63, 0), (109.99; 30.26°)}	合并(迭代列表(位似(p, 2, (-1, 0)), p, {{(0, 0), (1; π / 3)}}, n))
3	列表 l2	l2 = {{(0, 0), (1; 60°)}, {(1, 0), (2.65; 40.89°)}, {(3, 0), (6.08; 34.72°)}, {(7, 0), (13; 32.2°)}, {(15, 0), (26.85; 31.07°)}, {(31, 0), (54.56; 30.53°)}, {(63, 0), (109.99; 30.26°)}}	迭代列表(位似(p, 2, (-1, 0)), p, {{(0, 0), (1; π / 3)}}, n)
4	列表 l3	l3 = {“A_{1}”, “B_{2}”, “A_{3}”, “B_{4}”, “A_{5}”, “B_{6}”, “A_{7}”}	序列(如果(取余(k, 2) ≟ 0, 文本("A" + (k + 1) + "", l1(k + 1) - (0, 0.2)), 文本("B" + (k + 1) + "", l1(k + 1) + (0, 0.2))), k, 0, n)
5	列表 l4	l4 = {{“A_{1}”, “B_{1}”}, {“A_{2}”, “B_{2}”}, {“A_{3}”, “B_{3}”}, {“A_{4}”, “B_{4}”}, {“A_{5}”, “B_{5}”}, {“A_{6}”, “B_{6}”}, {“A_{7}”, “B_{7}”}}	序列(映射(文本(p "" + (i) + "", q), q, l2(i), p, {"A", "B"}), i, 1, n + 1)
6	折线 f	f = 190	折线(l1)

说明：

（1）合并(迭代列表(位似(p, 2, (-1, 0)), p, {{(0, 0), (1; π / 3)}}, n))

迭代列表(位似(p, 2, (-1, 0)), p, {{(0, 0), (1; π / 3)}}, n)，

得到的效果表面上都是这一系列的点，但是有区别的

例如利用折线(l1)是可以画出这些折线的；

但折线(l2)就画不出这些这些

原因是：合并之后，这些点才有顺序

才能用折线连接

（2）利用指令：扁平列表，效果应该相同。

（3）l3=序列(如果(取余(k, 2) ≟ 0, 文本("A_{" + (k + 1) + "}", l1(k + 1) - (0, 0.2)), 文本("B_{" + (k + 1) + "}", l1(k + 1) + (0, 0.2))), k, 0, n)

l4=序列(映射(文本(p "_{" + (i) + "}", q), q, l2(i), p, {"A", "B"}), i, 1, n + 1)

这两个指令的效果相同，都是对点AB进行标注

l3非常巧妙利用取余函数进行判断

l4在非常巧妙的利用了嵌套，很难，大家可以多体会。

方法六：周丙臻 老师的函数法

f(x)=sqrt(3)/3*(x+1)
u(x)=if(x>=0,-sqrt(3)*abs(x-1.5*2^floor(log(2,x+1))+1)+2^floor(log(2,x+1))*0.5*sqrt(3))
g(x)=0.5*sqrt(3)*2^floor(log(2,x+1))
h(x)= x+1-2^floor(log(2,x+1.5))
B=Intersect(g,f,0,20)
A=roots(h,0,20)

周老师说：

把上面的所有代码一次性粘贴到，ggb的按钮脚本中，就可以得到图形；我这个脚本是求交点系统自动生成的。floor与log的配合容易想到，其实在绘图之前，我打了下草稿，这里给出折线函数的复合函数形式，分成三个函数应该好理解不少。
g(x)=0.5*2^floor(log(2,x+1))
h(x)=1.5*2^floor(log(2,x+1))-1
u(x)=-sqrt(3)*abs(x-h(x))+g(x)*sqrt(3)

笔者的实践

这个函数如何想到的，也是需要长期琢磨理解这个软件才行。

还有宗师肖建伟老师等提出的利用矩形+压缩的指令等等，这些更有趣！

最后总结一下：

ggb的指令非常丰富，效果也非常惊艳，值得我们深入体会。在总结多种方法之后，我们总想找到一个多解归一 的方法，以利于我们以后迁移；在平常的练习中，一题多解也非常重要，让我们了解不同的指令及其功能，否则满足于一种解法，当遇到新情境时，熟悉的指令不一定能用。

【江苏】孙生富还说：
有这么个优秀的软件，就应该精准思考，在优化制图中优化自己的水平。

……

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