​geogebra进阶13：（多边形、积分）涂色和计算面积

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geogebra有众多的涂色方案，非常丰富多彩！之前笔者也写过：

萧老师也总结过积分的各种方法。

虽然大家用得比较多的是轨迹涂色，但是轨迹涂色有个大缺点，就是不能计算面积！

如何改进呢？

下面举两个案例。

案例一：（文海平老师）一个网红的“小学”计算阴影面积

先说说这道题的轨迹涂色方法：

利用圆弧指令，把上下两个圆弧表示出来，然后和线段BD构成一个列表l1，（列表l1注意顺序！）

然后用描点h和轨迹指令：

E=描点（l1），

轨迹(E + 0, E)

即可画出轨迹，进行涂色。

但是轨迹涂色仅仅是“示意”，不能计算面积。

改进一：利用多边形涂色。

在上面的基础上，利用指令：

l2=序列(描点(l1, i), i, 0, 1, 0.0001)，

描绘出了一万个点！

利用指令：

poly1=多边形(l2)

得到了一个一万边形！

即可得到涂色和面积，效果如下：

这个一万边形的面积，已经十分接近这个阴影面积了！

很显然，这个问题不是小学生和中学生能够解决的问题。

改进二：利用积分涂色

能用积分涂色的前提，是必须知道或求出这些弧线的函数方程。为了简便，如下：

即图形如下：

指令如下：

f(x) = sqrt(16 - x²)

g=平移(f, 向量((2, 0)))

A=交点(f, g, (1, 3.87298))

B=交点(f, x轴, (4, 0))

C=交点(g, x轴, (6, 0))

h(x)=如果(x(A) ≤ x ≤ 4, f(x), 4 ≤ x ≤ 6, 0)

d=积分介于(g, h, x(A), x(C))

得到的面积近似为7.92.

案例2：希波克拉底月牙形定理

定理内容如下：

利用多种涂色方法都可以给这些月牙涂色。

但利用多边形涂色和积分涂色，可以方便的求出其面积，进而验证这个定理。

下面介绍积分涂色：

一开始笔者想用“积分介于”的指令，想直接给月牙涂色，但是发现一个问题：

即利用这个方程，得不到整个半圆！

实际上这个半圆的方程的确直接求是不好求的，但可以通过间接的方法来求月牙形的面积！

即思路是：先求出左右两个弓形的面积（积分），再用左右两个半圆减去相应的弓形面积，即可得到月牙形的面积！

第一步：先用下面的指令得到大半圆的两个弧线：

q(x)=如果(x(A) ≤ x ≤ x(C), sqrt(2.5² - (x - x(D))²))

r(x)=如果(x(C) ≤ x ≤ x(B), sqrt(2.5² - (x - x(D))²))

第二步：利用积分指令得到两个弓形面积

i=积分介于(q, 线段(A, C), x(A), x(C))

j=积分介于(r, 线段(C, B), x(C), x(B))

第三步：利用半圆面积相减：

面积(半圆(A, C))-i

面积(半圆(C, B))-j

即可得到两个月牙的面积！

最后看看动图：

朱教授也做过类似的课件和教程。有兴趣的可以参考。

也非常感谢文海平老师和萧老师的文章！

反思1：在多种涂色中，能得到面积的涂色方案，推荐大家使用多边形和积分涂色方案，简单可行！

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