摸红球蓝球的概率到底是1/2还是2/3？

最近，有一个关于红球和蓝球的概率问题，在几个互联网论坛上突然火了。争论双方各执一词，不惜面红耳赤的争论上千层楼。

问题是这样的：

有三个盒子，其中一个盒子里装有两个红球，一个盒子里装有两个蓝球，一个盒子里装有一个红球和一个蓝球。

现在有一个人，选择了一个盒子，拿出了盒子里的一个球，发现这个球是个红球。那么，这个盒子里另外一个球也是红球的概率有多大？

下面是关于这个问题的视频讲解以及由视频整理的文字：

1解法一：1/2

第一种看法是答案为1/2，原因如下：

有人从这个盒子里拿出了红球，就说明这个盒子不可能装两个蓝球，而只能是装了两个红球，或者一个红球一个蓝球。

在这两种可能中，只有盒子里装了两个红球，才满足题目所说的“另一个球也是红球”的条件，于是这种情况的概率就是1/2。

2解法二：2/3

第二种意见是答案为2/3， 原因如下：

这个人随机选了一个盒子中的一个球，因此他有六种可能的选择。在这六种可能的选择中，只有3种选择才会摸出红球：他摸出的球可能是A、B或者C。

在这三种情况中，如果摸出的球是A或者B，那么就满足题目所说“另一个球也是红球”的条件，如果摸出的球是C，就不满足条件。在三种可能的情况下有两种情况满足条件，因此答案为2/3。

3孰是孰非？

答案是非常明确的：1/2错误，2/3正确。

要说明第一种解法的错误其实并不难，我们来考虑第一次摸出红球的过程：首先，它说明这个盒子不可能是两个蓝球的盒子。同时，它也暗示了这个盒子更可能装有两个红球。这是因为，如果这个人选择了装有两个红球的盒子，则他100%会在第一次摸出红球；但是如果他选的盒子装有一红一蓝，则只有50%的可能摸出红球。那么现在他的确摸出了红球，所以他选择的盒子是二红的概率就超过了一红一蓝，所以概率不是1/2。

我们打个比方， 我们想判断一个人是学霸还是学渣，可以出个题测一测。我们假定：学霸会做所有的问题，学渣只会做一半问题。一个人站在我们面前，他有50%的可能是学霸，也有50%的可能是学渣，现在我们随机出了一个题考他，他会做，那么他从概率意义上讲就更可能是学霸。在这种情况下，我们如果再出一个题，他能做出来的可能性也会增加。

第二种解法则十分明确：随机摸球共有3种可能摸出红球，所有情况都是等概率的。其中有两种情况盒子中另一个球依然是红球，因此概率为2/3 准确无误。

4还能更给力点嘛？

   其实，这只是个简单的条件概率问题。之前我们讲《三门问题》时就已经谈到过，可以使用条件概率的贝叶斯公式快速求出答案。

公式中A和B是两个相互关联的事件，P(B|A)表示“在A发生的条件下B发生的概率”，P(AB)表示“A和B都发生的概率”，P(A)表示“A发生的概率”。连起来讲就是：“在A发生的条件下B发生的概率等于AB同时发生的概率与A发生的概率之比。”这就是贝叶斯公式。

在我们这个问题中， 事件A表示“第一次摸出红球”，由于共有6个球，其中有3个红球，因此概率P(A)=3/6=1/2.

时间B表示第二个球也是红球，于是AB就表示两个球都是红球，即摸到了那个红球的盒子。因为一共有3个盒子，因此摸到红球的盒子概率为P(AB)=1/3。

这样， 代入贝叶斯公式得到

我们不妨给大家留一个思考题：假如三个盒子中分别装有100个红球、100个蓝球、1个红球和99个蓝球。一个人随机选择一个盒子摸出一个球，发现是红球，那么这个盒子是100个红球的盒子的概率是多大？

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李永乐

李永乐老师：北京大学物理与经济双学士，清华大学电子工程硕士；北京市中学物理教师/物理竞赛教练。从教十年，培养清华北大学生200余人，国际奥赛、亚洲奥赛、国家奥赛金牌十余名。

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