神奇的斐波那契数列

Original 永乐老师李永乐老师 2020-11-08

如果我们把一些数字排成一排，就构成了一个数列。这些数字之间可能是有规律的，也可能是没有规律的，可能是有限个数字构成，也可能是无限多个数字构成。

比如，1、2、3、4、5….就构成了一个数列，后一个数与前一个数的差是不变的，这种数列称为等差数列。

再比如1、2、4、8、16…也构成了一个数列。后一项和前一项的比例是不变的，称为等比数列。

在自然界中，有一个最为神奇、几百年来一直被人们热议的数列，那就是“兔子数列”，也叫做斐波那契数列。点开视频学习一下吧！

一. 阿拉伯数字

在十二世纪之前的欧洲，由于宗教原因，科学和数学的发展非常缓慢。欧洲人还习惯于使用罗马数字计数。罗马数字一共有7个数字，分别是：Ⅰ（1）、Ⅴ（5）、Ⅹ（10）、Ⅼ（50）、Ⅽ（100）、Ⅾ（500）和Ⅿ（1000）。

它的计数规则也比较复杂，比如：把两个数字并排，如果右边的数字比左边的数字小，则表示两个数字相加；如果右边的数字比左边的数字大，表示两个数字想减。此外还有许多复杂的规矩，使用起来非常不方便。

罗马数字

十二世纪时，欧洲数学才有了复苏的迹象。这是因为与阿拉伯国家的贸易和十字军东征等原因，欧洲同阿拉伯世界发生了联系，而此时的阿拉伯正在使用1234567890这样的符号表示数字，十分方便。由于这种数字是从阿拉伯国家学习到的，所以称为阿拉伯数字。

但是实际上，在公元前三世纪，印度人就已经在使用类似的方法表示数字了，阿拉伯数字是印度人发明的。在公元7世纪时，这种数字传入阿拉伯，后来又通过欧洲传播到全世界。

二. 斐波那契数列

斐波那契（也叫做比萨的列奥纳多）是一个意大利数学家，年少时随着父亲在北非做生意，学习了阿拉伯数字。

1200年，斐波那契回到了意大利，1202年写成了著作《计算之术》，这本书对欧洲的数学界产生了很大的影响。

在这本书中，斐波那契提出了一个有趣的问题：

假如有一对刚出生的小兔子，只需要一个月小兔子就能长成大兔子，从第三个月开始，这对大兔子每个月都会生下一对小兔子。新出生的小兔子又会花一个月长大，再花一个月开始生兔子… 如果每对兔子都经历这样的出生、成熟、生育的过程，并且永远不死，那么每个月兔子的总数是多少呢？

我们不妨先用树状图来研究这个问题。

第一个月只有1对兔宝宝。第二个月只有1对大兔子。第三个月大兔子生了一对兔宝宝，一大一小2对兔子。第四个月大兔子继续生一对兔宝宝，小兔子变成大兔子。两大一小3对兔子….

于是，每个月的大兔子、小兔子和总共的兔子个数就构成了三个数列，我们把这个数列列表出来

我们发现会发现：无论是小兔子对数、大兔子对数还是总对数，除了最初几个数字不一样之外，后面都是按照1、1、2、3、5、8、13…变化的，这个数列就称为兔子数列。由于它是斐波那契最早提出的，所以也叫做斐波那契数列。

兔子数列最大的特点是：前两项之和等于后一项，比如1+1=2、1+2=3、2+3=5、3+5=8、5+8=13…

我们用an表示一个数列的第n项，那么斐波那契数列的规律“第一项和第二项是1，前两项之和等于后一项”就可以表示成：

这样的数学表达式称为递推式，从递推式的前面一项或者几项，就可以计算出后面所有的数字啦。

三. 兔子数列有什么用？

可能许多读者觉得，斐波那契数列不过是浩如烟海的数学海洋中的一滴水而已。可是，从这个数列被提出的那一天起，到现在有800年了，人们对它的兴趣一直有增无减，在许许多多的领域都发现了它的影子。

在数学上有许多求“方法数”的问题，答案经常是斐波那契数列。

比如这样一个问题：我们要走上一个N级台阶的楼梯，每次只能走小步（1格）或者走大步（2格），那么走上楼梯一共有多少种不同的走法呢？

我们从最简单的情况开始分析：

如果只有一级台阶，只能一步跨上去，显然只有1种走法。

如果有两级台阶，可以一步跨上去，也可以分成两步来走，因此有2种走法。

如果有三级台阶，就有如图所示的3种走法：分成三小步、一小步一大步、和一大步一小步。

如果有更多台阶怎么办呢？这就需要递推式了。由于一步最多走连两个台阶，因此要到达第N级台阶，有两种方案：

1. 走到第N-1级台阶上，然后走一小步跨到最上方；

2. 走到第N-2级台阶上，然后走一大步跨到最上方。

我们用aN-1和aN-2分别表示走到第N-1级和第N-2级台阶的方法数，那么走到第N级台阶的方法数就是：

显然，这就是斐波那契数列的递推公式，因此走台阶问题的解刚好是斐波那契数列。

生活中最典型的斐波那契数列应用是在植物学中。

大树在生长的过程中会长出分枝，如果我们从下到上数分枝个数，就会发现依次是1、1、2、3、5、8、13…等等，刚好是斐波那契数列。有科学家对这种现象的解释是与兔子繁殖后代相同：每过一段时间老树枝都会萌发新芽，而新芽成长为成熟的树枝后也会每隔一段时间萌发一次新芽。

另一个神奇的例子就是向日葵等植物。

如果我们仔细观察，就会发现向日葵盘内的种子形成两组螺旋线，一组是顺时针的，另一组是逆时针的。而这两组螺旋线的条数刚好是两个相邻的斐波那契数，小向日葵是34和55，大向日葵是144和233。松果种子、菜花表面也有类似的规律。

有科学家认为：这种排列可以使得种子的堆积最密集，最有利于植物繁衍后代。

八百年来，人们在各个领域都发现了斐波那契数列。尤其是十九世纪开始，人们发现了斐波那契数列在计算机、物理、化学等领域的应用，这个古老的数列焕发了新的青春。1963年，斐波那契协会成立，并出版了《斐波那契季刊》用以刊登与斐波那契数列相关的研究成果。

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