证明圆周率π是无理数很容易？人类花了2000年！

  我在之前制作的视频中，多次谈到了圆周率π。比如，我介绍过阿基米德和刘徽计算圆周率的方法——割圆术，还谈到了蒲丰利用一根针计算圆周率的方法——蒲丰投针实验。人类使用和计算圆周率已经有了数千年的历史，可是了解圆周率的数学性质其实是最近二三百年的事情。最初人们总是希望能够计算出圆周率的准确值，写成一个分数或者有限小数的形式，可是数千年来的一次次的努力都失败了。

直到两百多年前，数学家们才证明了圆周率是一个无理数（无限不循环小数），是不可能用有限小数或者分数写出来的。可是，你知道这个命题如何证明吗？这回我们就来讨论一下。

一.有理数和无理数

我们首先来复习一下基础概念：什么是无理数？

初中时候我们学习过数轴，数轴上面密密麻麻布满了点，有的点是整数，有的点不是整数，但是每一个点就对应了一个数，这个数叫做实数。实数与数轴上的点一一对应。

数轴

我们可以把实数分成两类：有理数和无理数。

有理数是那些可以写成两个整数的比的数，例如：1，2，1/3，0.25（=1/4），0.929292…(=92/99)......   这些数字要么本身是整数，要么等于两个整数的比，所以都是有理数。

有时候，我们又把有理数分为三种，分别是整数、有限小数和循环小数。有理数有无穷多个，但是我们其实可以把有理数一个一个排列起来，所以有理数的个数其实是与自然数一样多的，这一点我在精读《从一到无穷大》的专栏中说到过证明。

数轴上除了有理数外，其余的数字叫做无理数——无理数不能写成两个整数的比，它们是无限不循环小数。例如

•    圆周率π=3.1415926……

•    自然对数的底e=2.71828……

•    2的平方根√2=1.414……

   …

无理数有无穷多个，而且无理数没有办法一个一个排列起来，它的个数比有理数多得多。

实数的分类

现在我们已经复习完了有理数和无理数的概念。要证明一个数字是有理数很简单：只要把这个数字表示成两个整数的比就行了。但是要证明一个数字是无理数，就要证明它不能表示成两个整数的比，数学上如何去证明一件事情不可能呢？这就需要用到一种数学方法——反证法了。

二. 反证法

反证法的原理是：我们要证明一件事不可能，就首先假设这件事可能，然后推导出矛盾的结果，于是就证明了它不可能。例如：我们可以通过反证法证明√2是一个无理数。

求证：√2是一个无理数

首先假设√2是有理数，然后推导出矛盾的结果，从而证明√2是无理数。我们利用这种方法，就能证明圆周率是无理数了。

三.第一个证明

200多年前，瑞士著名数学家欧拉研究了关于连分数的问题。

欧拉

所谓连分数是指形如下面的数字：

、

其中ai都是整数。数学家们证明：任何一个实数都可以唯一对应一个（特定规则的）连分数，并且有理数对应的连分数是有限层数，而无理数对应的连分数有无限层。例如，无理数√2可以表示成如下形式：

在欧拉的启发下，欧拉的同事，瑞士数学家兰伯特想到：能够顺着连分数的思路，证明圆周率是无理数呢？1761年，兰伯特给出了这个证明。

兰伯特 1728-1777

• 首先，兰伯特证明了：正切函数可以展开成一种类似于连分数的函数形式:

• 然后，兰伯特根据以上表达式证明：如果x是一个有理数，则tan(x)一定是无理数。

• 最后，利用反证法：设π是有理数，则π/4也是有理数，于是按照上面的证明，tan(π/4)应该是无理数。但是tan(π/4)=1是一个有理数，发生矛盾。因此π是无理数，证明完毕。

看起来，兰伯特的方法似乎没有多么繁琐，可是如何证明tan(x)可以写成这样的展开式？又如何通过这个展开式证明x是有理数时tan(x)一定是无理数呢？这个过程过于冗长，在这里就不再赘述。

从兰伯特给出了圆周率的是无理数的第一个证明后，数学家们陆续提出了一些其他的证明方式。其中，二十世纪的美国数学家伊万.尼云给出的方法最为简洁，他写的论文总共不到一页纸。小伙伴们保持关注，下一回再给大家介绍伊万的证明方法。

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