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军事与数学(七)

2017-10-19 贼叉 梦台州 梦台州


开车?算个毛线,作为一个军事博主,我可是会开船的!



今天来聊聊军事航海中的数学。

什么叫军事航海?军事航海就是指海军舰艇日常航行与遂行战斗任务的航海活动,是航海学在军事上的应用和发展。是舰艇在各种条件下安全航行和舰载武器有效使用的重要保证手段,为舰艇各级指挥员必备的军事知识和技术之一。与舰船结构和动力学、船艺、战术、海洋地理、海洋水文、海洋气象、电子学、计算机技术等密切相关。

舰艇指挥这块我们暂且按下不表,上段最后一句话翻译过来就是和大量的数学有关。

地球,是一颗美丽而神秘的星球。地球的表面超过70%的面积被生命之源——水所覆盖(请自行脑补赵忠祥老师的雄浑嗓音),所以开船远远比开车重要的多的多。

这就是为什么平时我不喜欢在微博上开车的重要原因。

在陆地上行车,我们会有很多的办法来辨识方位,但是在茫茫的大海上可是没有参照物的。我曾经在祖国的东海上跑过船,那真的是一望无际的大海,陆地上的方向感完全没有任何作用,甚至于想在海上找个基准点然后沿着直线走过去都是痴心妄想。所以我们必须要有一套方法来在海上判断方位。

Lucky!We have math!

中国国土面积最大的省份是新疆,面积160万平方公里。

以下这段对话在新疆并不算玩笑:

甲:诶,阿达西,这个地方在哪儿嘛?

乙:外江外江,这个地方近的很嘛,出门右转六百公里。。。

我也曾和新疆的朋友聊过:

我:你们新疆太大了,乌鲁木齐到喀什有1700公里!

友:没有那么远,只有1500公里!

我:恩?我记得是1700啊!

友:外日,不差那200公里。。。

我。。。。

不过这个距离相对地球的尺度来说,确实是微不足道的。

我们的地球可以近似地看成一个球体,赤道的周长约4万千米。当然,我们所指的赤道是指地理上的赤道。事实上,如果从几何的角度来说,赤道是指球面上任意一个以球心为圆心的大圆。区区600千米,相对于40000千米来说,仅仅占到了1.5。我们知道,一个圆的圆周角是360°,也就是说,600千米的圆弧对应的圆心角仅为5.4°。在这样的尺度内,弧可以近似成一条线段——类似于等价无穷小的替换中x和sinx之间可以替换那样。而且由于地形的不断变化导致我们的视觉受到了欺骗,所以我们始终感觉在平面上运动。

相对于陆地来说,大海就要诚实的多。海洋上面没有什么地形地貌的影响。曾经有一首脍炙人口的诗直击海洋的本质:

大海啊,都是水!

我们在海边看到有帆船从远方驶来时,总是先看到桅杆,再看见船身,而目送帆船远去时,先是看不见船身,最后才看不见桅杆。这充分地说明了地球是个球体。

问题来了:我们该如何在球面上确定距离以及相对位置呢?

我们第一想到的就是欧几里得发现的平面几何工具。但是平面几何只能处理直的情况,对于弯的情况(想歪的拖出去打死)欧几里得就是再生也没有能力处理:因为你在球面上无法找到直线!

幸亏我们有球面几何。

球面几何顾名思义就是指在球面上如何计算角度、距离的几何。我们平时所处的空间,相对于整个地球来说是个非常非常小的局部,因此可以近似地看成是平面。所以欧氏几何是适用的。包括两点之间距离最短,三角形内角和是180°等耳熟能详的结论。

球面上第一个要解决的问题是如何找到球面上的直线。

什么是直线?

我们会发现这玩意你明白是个啥,但是真下定义还挺麻烦。如果借助曲率的概念那就方便多了,曲率为0的曲线就是直线——但是你会一脸蒙圈地看着我:啥是曲率?这天又聊不下去了。

我们从局部最短性来描述直线。在平面上,连接两点之间最短的曲线就是线段。这两点不断拉开,以至于跑到无穷远了,那么就是直线了。我们可以把局部最短的性质延拓到曲面上去。曲面上任意两点间距离最短的曲线,我们可以看成是曲面上的直线,几何上叫测地线(geodesic)。

我们发现,圆锥,圆柱这两种曲面可以沿着母线剪开,然后摊平成一张平面,所以这两种曲面上两点间最短距离的曲线就转化成了平面上的直线,很容易解决。我们把锥面、柱面还有切线面这三种曲面称为可展曲面,也就是能变成平面的曲面。在这些曲面上我们可以用平面几何解决很多问题。

但是球面并不是可展曲面。你把乒乓球随便怎么剪开,不可能再不加压力的情况下把球面变成一张平面,所以球面上的测地线并不是那么好找。

但是几何直观告诉我们,球面上的测地线应该就是大圆,而两点间的最短距离就应该是过这两点的大圆的劣弧。我们知道,三角形在解决平面上的距离、角度问题中有着非常重要的作用,所以球面三角对于航海来说简直就是神器。

球面上圆心在球心的三个大圆弧所围成的闭合图形,叫做球面三角形。球面三角就是研究球面三角形的解法,即依据球面三角形的已知元素(边、角)来解算其他未知元素。 从十六世纪起,由于天文学、航海学、测量学等方面的发展,球面三角逐渐形成了独立学科。

从前面的描述中我们知道,线的问题解决了,如何定义角呢?我们把两条弧在交点处的两条切线的夹角称为球面上的角。很显然,球面三角形的内角和是大于180°的。


解三角形的时候,正弦定理和余弦定理常用工具,球面三角也一样,不过要复杂一些。这里a,b,c表示弧的弧度,A,B,C表示弧所夹的角。我们有以下的余弦及正弦定理:




从以上公式可以看出来,我们如果知道了三个以上的元素,基本可以把其他几个元素解出来了。

当然,球面三角的历史比微分几何要早一些。毕竟球面是特殊的曲面,所以可以先于一般的曲面得到很多有用的结论,但是,在球面三角被发现之前呢?

对于早期探险的海上航行来说,确定距离倒还不是那么的紧迫,确定方位更重要。最初航海者通过白天观察太阳的高度,夜间观察北极星的方位来判断所处的纬度,依靠天体定位,航海家使用一种很简单的仪器来测量天体角度,称之为“雅各竿”。观测者有两根竿子在顶端连接起来,底下一根与地平线平行,上面一根对准天体(星星或太阳),就能量出偏角。然后利用偏角差来计算纬度和航程。这种技术被称做“纬度航行”,在测量纬度比较成功, 但确定经度却非常困难。尽管如此,“纬度航行”的方法仍在西欧被很普遍地采用,把自己置于与目的地相同的纬度线上,然后保持在这条线上航行,就能直到目的地。不过这并不是完全科学的,即使在今天,利用天文定位误差仍会在1-2海里左右,那时几乎没有象样的航海工具,误差之大可以想象。

人类最早被发明的航海工具是罗盘,也就是指南针的雏形。最初的时候,人们仅在天气情况恶劣,无法看到太阳和北极星,也不知道船首驶向何方才使用罗盘。航海者会在一块磁石摩擦一个铁针,使其产生磁性,并将其固定在一根稻草上,并悬浮于一碗水中,这样有了磁性的铁针就会自动指向北方。指南针约在12世纪由中国传入欧洲,后来又被欧洲的航海家改造成“指北”方向。到1250年左右,航海磁罗盘已发展到能连续测量出所有的水平方向,精确度在3°以内。但磁罗盘并不是很快地为欧洲人普遍接受。由于人们还无法科学地解释指针为什么能“找到”北方,而且人们很快发现,这些针所指的北方经常不准确。因为他们不知道铁针所指的是磁北极,而并非真正的北方(期间的角度被称为磁偏角)。在那时人们无法解释这些现象,因而在一个未知的地方航行就并不是很相信罗盘的指针。所以最初罗盘很具有神秘色彩,一般的航海水手都不敢使用,只有那些大胆而又谨慎的船长才暗暗地使用,把它装入一个小盒内,不让别人看到。而指南针在欧洲得以广泛使用,则是13世纪后期的事情。

在球面三角出现以后,航海的精度就大大提高了,球面三角另一个重要的应用就是六分仪。

六分仪是用来测量远方两个目标之间夹角的光学仪器。通常用它测量某一时刻太阳或其他天体与海平线或地平线的夹角﹐以便迅速得知海船或飞机所在位置的经纬度。六分仪的原理是由神仙牛顿爷爷首先提出的。六分仪具有扇状外形﹐其组成部分包括一架小望远镜,一个半透明半反射的固定平面镜即地平镜﹐一个与指标相联的活动反射镜即指标镜。六分仪的刻度弧为圆周的1/6。使用时﹐观测者手持六分仪﹐转动指标镜﹐使在视场里同时出现的天体与海平线重合。根据指标镜的转角可以读出天体的高度角﹐其误差约为±0.2°~±1°。

历史上,六分仪除了在航海方面发挥了重大作用外,还曾帮助天文学家编制高精度星表。而星表的编制也促进了航海的发展,同时还给地理坐标的测量带来了重大进步。这一切的理论基础,就是这球面三角。 当然,随着现代测量技术和计算机技术的日新月异,确定出方位距离就是眨眼间的事情,但是这里蕴含的数学基础我们仍然应该感谢。

所以,有了这些仪器和理论基础,才能帮助我们的战舰找的准目标,同时制定出最合理的战术歼敌于千里之外! 



网友评论:


@椒江叶Sir: 不明觉厉,就是一半多没看懂。[允悲]


@给我一杯福佳白: 数学博主!!!开船了???


@军迷张晓予:文科生表示看完只有盲目的崇拜。[跪了]


@餐肉饮血小羊羔:借贵宝地科普一下新疆距离概念:1000公里以内,我们认为很近,1000公里-1500公里,我们认为有点儿距离,1500公里-2000公里,我们认为远,2000公里以上,我们认为比较远。这并不是吹牛,因为2000公里,可能还没有出新疆……例如博乐到和田,比较远,超过2500公里了,但是还在疆内。


@倾听指尖: 看不懂!这样的作业,我不交。。//@贼叉:课代表你好!//@军令部长:收数学作业了[doge]//@军迷刘凯强同学:提数学就头疼[允悲]


@金陵上空的鹰: 因为她就是数学不好才当的马路吸尘器//@贼叉:为什么!//@饼干姐:看完了尽情殴打博主。


@天中捕快:跟我提数学的人我会一天恨他三遍[允悲]


@贼叉: 下一章就写了,地图怎么绘制的//@一脚张钱峰:说实话真正的点子还没说到,说航海怎么能不提墨卡托海图。




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