【精彩论文】基于解耦内点法与混合整数规划法的区域电网动态无功优化算法

基于解耦内点法与混合整数规划法的区域电网动态无功优化算法

张杰¹, 郑云耀², 刘生春³, 马勇飞¹, 颜伟², 王恒凤²

（1. 国网青海省电力公司电力科学研究院，青海 西宁 810000; 2. 输配电装备及系统安全与新技术国家重点实验室（重庆大学），重庆 400044; 3. 青海德泓电力科技有限公司，青海 西宁 810000）

摘要：动态无功优化在提高电网电压质量、降低网损和减少离散调压设备日动作次数方面具有重要作用，在数学上它是一个含绝对值约束的多时段大规模非线性混合整数规划问题，其高效求解是一个难题。为此，提出了一种基于解耦内点法和混合整数规划的动态无功优化两阶段算法。第1阶段，利用sigmoid函数处理绝对值约束以实现原模型的连续化，采用解耦内点法思想构建KKT修正方程的对角带边结构，实现了模型的时段分块解耦高效求解；第2阶段，将原模型在当前连续解附近线性化，构建涉及原模型所有约束条件的混合整数线性规划模型，由此决策出离散无功控制设备的优化解。通过某地区26节点的算例仿真，验证了本文算法的有效性。

引文信息

张杰, 郑云耀, 刘生春, 等. 基于解耦内点法与混合整数规划法的区域电网动态无功优化算法[J]. 中国电力, 2023, 56(1): 112-118.

ZHANG Jie, ZHENG Yunyao, LIU Shengchun, et al. A dynamic reactive power optimization algorithm for regional power grid based on decoupling interior point method and mixed integer programming method[J]. Electric Power, 2023, 56(1): 112-118.

引言

动态无功优化^[1-2]主要是通过对发电机、有载调压变压器、电容器等调压设备全天运行状态的时空优化，在满足节点电压幅值安全约束的基础上实现全天网损最小的目标。动态无功优化对于提高系统电压质量、降低网损和解决离散调压设备的频繁动作问题具有重要作用。

动态无功优化是一个含日动作次数绝对值约束的多时段大规模非线性混合整数规划问题，长期以来尽管已经有很多相关研究成果报道，但其求解效率仍然难以满足实际工程的应用要求。现有动态无功优化算法可以分为动态规划法^[3-5]、基于整数变量连续化松弛罚函数的内点法^[6-7]、随机智能算法^[8-13]、结合内点法与随机智能算法的混合算法^[14-16]、二阶锥方法^[17]、结合内点法与混合整数规划的两阶段算法^[18-22]6类。其中，第1类方法求解效率低，可能存在组合爆炸问题；第2类方法存在罚函数迭代嵌入时机选择困难和收敛问题；第3类和第4类方法存在解的不稳定性和计算效率问题；第5类方法的二阶锥近似化条件比较苛刻，同时求解有载调压变压器分接头时，由于其可选状态很多，存在组合爆炸问题；第6类方法的第1阶段通常采用内点法求解原问题的连续解，第2阶段在连续解的基础上采用基于CPLEX的混合整数线性规划算法求解原问题。相对而言，第6类方法更加有潜力。然而，文献[17]在第1阶段同时松弛了离散变量和绝对值约束，这就可能导致第1阶段连续最优解离散设备日动作次数越限，对第2阶段求解贡献低。文献[19]尽管在第1阶段考虑了离散变量日动作次数的绝对值约束，但也由此会带来辅助变量平衡约束的处理困难问题。

针对动态无功优化两阶段算法的上述问题，本文提出了一种基于解耦内点法与混合整数线性规划法的两阶段算法。第1阶段，将离散变量松弛为连续变量，同时利用Sigmoid函数处理绝对值函数以实现原模型的连续化，采用解耦内点法思想^[23]构建KKT修正方程的对角带边结构，从而提高了模型的求解效率；第2阶段，将原动态无功优化模型在第1阶段连续解附近线性化，构建涉及原模型所有约束条件的混合整数线性规划模型，由此决策出离散无功控制设备的优化解。以某地区26节点的实际系统为例，仿真验证本文算法的有效性。

1  区域电网动态无功优化模型

本文针对区域电网建立动态无功优化模型，模型中以有载调压变压器和电容器为无功控制手段，以电网安全约束和离散设备的日动作次数为约束，以实现全天网损最小为目标，并在有载调压变压器支路中增加虚拟节点表示功率、电压转换关系^[24]，具体数学模型（记为模型M）如下。

（1）目标函数为

式中：f为一个控制周期内网络总的能量损耗；T为负荷曲线划分的总段数； P_losst 为t时段网络总的有功损耗； ΔT_t 为第t个时段的时间长度； P_St 为t时段平衡节点对该区域注入的有功功率； P_Dt 为t时段该区域总有功负荷。（2）约束条件①节点功率平衡方程为式中： g_Pt,i 、 g_Qt,i 分别为t时段节点i有功和无功功率平衡方程； P_Gt,i 和 Q_Gt,i 分别t时段与节点i相连发电机有功和无功出力； P_Dt,i 和 Q_Dt,i 分别为t时段与节点i相连负荷出力； P_t,i 和 Q_t,i 分别为t时段与节点i相连支路传输功率； Q_crt,i 为t时段节点i获得的补偿无功功率； N_B 为系统内所有节点集合。②有载调压理想变压器支路电压约束为式中： g_kl,t 、 g_θl,t 分别为t时段理想变压器支路l电压、相角约束； V_t,i 、 θ_t,i 分别为t时段节点i电压的幅值、相角； N_k 为理想变压器支路集合； k_t,l 为t时段理想变压器支路l的变比。③状态变量的上下限约束为式中： h_Vt,i 为节点i电压上下限约束； V_imin 、 V_imax 为节点i电压幅值的下限、上限。④离散变量的上下限约束为式中： h_Tab 、 h_cr 分别为有载调压变压器档位限额约束、无功补偿装置投入组数限额约束； T_abt,l 、 n_crt,i 分别为t时段有载调压变压器l档位值、节点i处无功补偿装置投入组数； T_ablmax 、 T_ablmin 分别为有载调压变压器l档位值上限、下限； n_crimax 、 n_crimin 分别为接于节点i处无功补偿装置组数的上限、下限； N_cr 为所有无功补偿节点集合。⑤离散设备动作次数约束为

式中： h_dcr 、 h_dTab 分别为电容器、有载调压变压器日动作次数约束； M_crimax 为接于节点 i 处的可投切电容器单组电容器开关的最大允许动作次数； N_cri 为接于节点 i 处的可投切电容器拥有的最大组数； T_ablmax 为变压器 l 全天最大动作次数； N+ 为正整数。

2  动态无功优化的两阶段算法

2.1  两阶段算法原理第1阶段：首先松弛离散变量，并利用Sigmoid函数处理绝对值约束；然后采用解耦内点法思想，构建连续化模型内点法KKT修正方程的对角带边结构。第2阶段：基于第1阶段连续解附近线性化，构建涉及原模型所有约束条件的混合整数线性规划模型，进而采用Cplex求解。2.2  第1阶段：连续化动态无功优化模型及其解耦内点法实现将模型M中的离散变量松弛为连续变量，同时用Sigmoid函数 f=1/(1+e^−x) 处理模型M中的绝对值约束式（9）~（10），可得到式中： z_t,j 为系统 t 时段有载调压变压器 l 档位值或电容器 i 组数，即 z_t,j∈[T_abt,l,n_crt,i] ； ζ 为Sigmoid函数的阶跃度，本文取为5；X_max 为有载调压变压器和电容器组全天最大动作次数的集合。式（1）~（8）、（12）共同构成了连续化动态无功优化模型M1。为求解M1，构建其内点法KKT修正方程对角带边结构为式中： x=[V,θ,T_ab,n_cr]^T ；g_t 为各个时段所涉及的等式约束； y_t为 g_t对应的拉格朗日乘子； ∇g_t 为 g_t 对 x_t 的偏导； h_t 为各时段涉及的不等式约束； ∇h_t 为 h_t 对 x_t 的偏导； y_hut 、 y_hlt 和 s_hut 、 s_hlt 分别为各时段不等式约束对应的拉格朗日乘子和松弛变量列向量， Y_hut 、 Y_hlt 和 S_hut 、 S_hlt 分别为由 y_hut 、 y_hlt 和 s_hut 、 s_hlt 列向量元素所构成的对角矩阵； h_d 为动态不等式约束； y_hd 和 s_hd 分别为动态不等式约束的拉格朗日乘子和松弛变量列向量； Y_hd 和 S_hd 分别为由 y_hd 和 s_hd 列向量元素所构成的对角矩阵； ∇L 为拉格朗日增广函数对原变量和对偶变量的偏导。通过线性转换，将式（13）解耦^[25]为在整个解耦过程中并未涉及任何近似处理，因此通过解耦内点法求解M1和用非解耦内点法求解M1得的结果是相同的。但由于式（22）和（23）的维数较小，比直接求解维数更大的式（13）的计算量要小很多，可以有效提高计算速度。2.3  第2阶段：混合整数线性规划模型构建

基于第1阶段M1的连续最优解对模型M进行线性化处理，式（1）~（6）采用文献[18]提出的线性化模型，将 V2 视作独立变量用来替换动态模型中的V变量，再通过Taylor级数展开、近似处理等方法对支路传输功率方程进行处理，将支路传输功率方程线性化；式（9）和式（10）采用文献[17]提出的线性化模型，通过等价转换将离散设备动作次数约束转换成一组等价线性不等式方程组。由此，式（7）、式（8）和式（11）共同构成了原问题的混合整数线性规划模型M2，可以采用Cplex等商业软件实现高效求解。

3  仿真分析3.1  算例参数

选取某地区实际电网进行分析计算，其系统结构如图1所示，共有26个节点、15条交流线路、15台有载调压双绕组变压器，每台变压器全天最大动作次数为8次，无功补偿电容器15套，每组电容器的全天最大动作次数为6次，且标幺容量均为0.0501，所有节点的电压上限和下限分别为1.07 p.u.和0.97 p.u.。将全天功率曲线划分为24个时段，其变化规律如图2所示。以CPU为core i5-6500，内存为8 GB的PC为计算平台，Matlab 2014 b为仿真环境进行仿真。

图1  220 kV控制分区拓扑结构

Fig.1  Topology of a 220 kV control zone

图2  区域电网功率曲线

Fig.2  Power curve of regional power grid

3.2  解耦内点法与非解耦内点法的计算效率对比分析为了验证解耦内点法对计算速度提升的效果在上述算例中分别设置仿真方案S1和S2。其中，S1表示采用解耦内点法求解模型M1；S2表示采用非解耦内点法求解模型M2。

两种方案的仿真结果如表1所示。可以看出，方案S1和S2的求解时间分别为11.89 s和36.42 s，相比于非解耦内点法（S2），采用解耦内点法（S1）节省了约70%的时间；同时，两种方案的迭代次数和网损分别是一致的。这是由于采用解耦内点法将一个高维的修正方程解耦成了多个小维度的方程组后，尽管需要求解的方程个数增加，但由于每个方程的维数大幅度减小，从而可以提高计算效率。由于解耦过程没有涉及任何的近似处理，两种方法的求解精度和计算结果是一样的。因此，解耦内点法能在保证精度的情况下有效提升模型M1的计算速度。

表1  方案S1和S2仿真结果

Table 1  Simulation results comparison of IPM and DIPM

3.3  第1阶段离散设备动作次数约束对优化效果的影响分析进一步分析第1阶段离散设备动作次数约束对优化效果的影响，分别设计仿真方案S3和S4。其中，S3表示根据S1的求解结果，构造第2阶段优化模型M2；S4表示第1阶段模型M1忽略离散设备动作次数约束，即式（12），并以此优化结果构造第2阶段优化模型M2。

方案S3和S4第1阶段变压器分接头、电容器日动作次数的松弛解如表2所示。可以看出，两种方案松弛解不同，且方案S4变压器1、电容器6的优化结果分别为10.0182和7.7441次，超过了其允许的日最大动作次数。以电容器6为例，当忽略其动作次数的绝对值约束时，其对应的负荷波动幅度大、波动频繁，如图3所示，从而引起了设备的频繁动作。

表2  变压器、电容器日动作次数情况

Table 2  Daily action times of transformer tap adjustment and capacitor switching

图3  负荷6无功功率曲线

Fig.3  Reactive power curve of load 6

进一步比较方案S3和S4第2阶段的网损目标优化结果。优化后，两种方案的网损目标优化结果分别为117.0466 MW·h和121.8019 MW·h。相比于S4，方案S3网损降低了3.90%。其原因为当以方案S4的松弛解进行邻域搜索时，对于变压器1、电容器3而言，第1阶段忽略了其日动作次数的绝对值约束，导致原问题M的最优解不在M1松弛解的邻域范围内，因而得到M2的最优解并非原问题M的最优解。第1阶段考虑离散设备动作次数约束，可进一步提升求解精度。

4  结论针对区域电网动态无功优化问题，本文提出一种基于解耦内点法和混合整数规划法的动态无功优化算法，得出如下结论。（1）基于解耦内点法构造连续化模型KKT修正方程的对角带边结构，将高维的修正方程解耦成了多个小维度的方程组，有效提升了第1阶段的计算效率。（2）算法在第1阶段考虑了离散设备绝对值约束，得到解的质量更高。借助Sigmoid函数处理模型中的绝对值约束，避免了使用辅助变量处理绝对值约束可能存在的收敛性问题，有效提升了算法的求解精度。（责任编辑　于静茹）

作者介绍

张杰（1982—），女，硕士，高级工程师，从事电力系统分析研究，E-mail：[e-mail];

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郑云耀（1993—），男，硕士，助理工程师，从事电力系统优化运行研究，E-mail：[e-mail];

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刘生春（1983—），男，硕士，高级工程师，从事电力设备局部放电研究，Email：[e-mail];

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王恒凤（1999—），男，通信作者，硕士研究生，从事电力系统优化运行研究，E-mail：[e-mail].

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编辑：于静茹校对：许晓艳审核：方彤

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