独孤信印与秦汉酒骰的几何学

意大利画家Jacopo de' Barbari的《帕乔利肖像》（1495年），现藏那不勒斯卡波迪蒙特宫

撰文 | 刘  钝

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从独孤信及其印谈起

独孤是南北朝时代北方鲜卑族大姓，金庸小说中有个不曾露脸的武林高手就叫独孤求败，不过今天这里介绍的却是历史上的一个真实人物，他就是先后历经西魏（期间还短暂仕南梁）和北周的大将军独孤信（公元502-557年）。独孤信原名如顺，云中（今内蒙古托克托县）人，本是西魏八柱国之一。这些“柱国”有多厉害，说出其中的三个人就知道了：第一位是宇文泰，八柱国之首，西魏的实际统治者，其子宇文觉为北周开国皇帝；李虎，其孙李渊是唐朝开国皇帝；李弼，隋末天下大乱时瓦岗军首领李密乃是他的曾孙。

再说独孤信，史称“美容仪，善骑射”，“好自修饰，服章有殊于众，军中号为独孤郎”，某日傍晚歪戴帽子纵马入城，“诘旦，而吏民有戴帽者，咸慕信而侧帽焉”。清初那个唯美主义诗人纳兰性德就把自己的首部词集取名为《侧帽集》。独孤信的武功也好生了得，曾经单枪匹马生擒敌酋。由于战功卓著，先后任别将、散骑侍郎、郡守、大都督、武卫将军、骠骑大将军、刺史、河内郡公、尚书令、大司马、太保、大宗伯等要职，最后晋封卫国公。

独孤信共生有六子七女，六子俱任官并封侯封伯，七女都嫁了当时的权贵，其中三位成了皇后（或皇太后）：长女嫁给北周第二位皇帝宇文毓，是为明敬皇后；四女嫁给李渊的父亲李昺，后来被李渊追尊为元贞皇后；七女嫁给隋朝开国皇帝杨坚，辅佐夫君推行“开皇之治”，这就是以崇俭、笃信佛教而出名的独孤伽罗皇后。独孤信一身兼三朝皇帝的岳父，被网友称为“史上最牛老丈人”。

北周初年，因介入宇文家族的帝位继承人之争，独孤信被权臣宇文护逼迫自尽，时年五十五岁。1953年，独孤信墓在陕西咸阳市底张湾出土，形制非常简朴，推测是迫于形势草葬所致。墓志铭文16行共220字，记述了墓主的姓氏、籍贯、家世、卒年、葬日、葬地，以及夫人和三个儿子的名字。今存国家博物馆。

1981年，陕西省旬阳县一个叫宋清的中学生，在上学路上捡到一枚规则多面体形状的印章，由煤精石磨制而成。仔细观察，印章共有48条基本等长（约2厘米）的棱、18个正方形面和8个正三角形面，其中14个正方形面上刻着楷书阴文，分别是“臣信上疏”、“臣信上章”、“臣信上表”、“臣信启事”、“大司马印”、“大都督印”、“刺史之印”、“柱国之印”、“独孤信白书”、“信白笺”、“信启事”、“耶敕”、“令”、“密”，集官印、上书专印、日常文书印于一身，在历代印章中还未见过类似物件。现为陕西历史博物馆收藏。

独孤信于西魏大统十六年（公元550年）奉命出讨东魏，还朝后迁尚书令、拜大司马，而印文中已含“大司马印”，可以断定此印制作的时间最早不过那一年。其时独孤信声威日隆，不但身为八柱国之一，长女、四女也已分别嫁入豪门宇文泰家族、李虎家族，可谓一时之盛。

这枚印章的形状是一种半正多面体。半正多面体的表面是两种或两种以上的全等正多边形，其棱长则完全相等。共有13种凸的半正多面体，据说是公元前三世纪阿基米德最早发现的，所以它们也被称作“阿基米德多面体”（Archimedean polyhedra）。此说来自三世纪亚历山大里亚的帕普士，然而阿基米德现存著作中没有这方面的内容。现实生活中也极少见到这种形状的器物，15世纪末意大利画家德巴巴里（Jacopo de' Barbari）在《帕乔利肖像》（1495）中画了一个悬在空中的水晶多面体，其构造与独孤信印完全一致，有人称其为26面体，更准确点应该是48等边半正多面体。

图1 独孤信印

图2 《帕乔利肖像》中的水晶多面体 

古代多面体酒骰及其他器物

1968年，河北满城发掘出西汉中山靖王刘胜及其妻子窦綰之墓，除了金缕玉衣、长信宫灯等众所周知的珍贵文物之外，后者墓室还出土了一件极为精美的酒骰，《满城汉墓发掘报告》称：

铜骰一件（2:3064），与“宫中行乐钱”同出。通体错金银。共十八面，分别错出篆书或隶书“一”至“十六”以及“酒来”和“骄”字（后二面对称）。“一、三、七、十、骄、酒来”等六面为错金地错银一周，另十二面为嵌银地错金一周。在各面孔隙间，用金丝错出三角卷云纹，中心镶嵌绿松石或红玛瑙。骰径2.2厘米。

报告没有提及“在各面孔隙间，用金丝错出三角卷云纹”的个数，实际上共有8个，因此这个酒骰共有26个面，与独孤信印几何同构；只要把错有数字与文字的18个面视为正方形，把错有三角卷云纹的8个面视为正三角形，就是一个标准的48等边半正多面体。

图3 窦綰墓出土错金银铜骰

图4 窦綰墓出土错金银铜骰线图[李零2016，454页]

李零新著《万变》中有一节专门讨论古代酒骰，内中提到具有相似结构的文物，目前已知的至少还有四件，它们的形制基本相同，而且都是西汉年间物品。他还指出：“这种赌具，有四面体（每面为三角形）、六面体（每面为正方形）和增加切削面因而近似球形的多面体。……出土发现，战国秦汉的骰子多作十四面体或二十六面体，属球形多面体。增加切削面，目的是增加选择的机遇。”

其他四件26面体西汉骰子分别是：（1）临淄大武齐王墓随葬坑出土西汉铜骰，1978年在山东淄博大武乡窝托村齐王墓随葬坑5号坑出土，共两件，分别标数字“一”至“十六”以及“骄”、“畏妻”字；（2）山东省博物馆藏西汉铜骰，旧属清代金石学家、山东潍县（今潍坊市）人陈介祺；（3）海外收藏的错金银西汉铜骰，此为麦肯齐等编著的《亚洲游戏：竞争的艺术》（Colin Mackenzie & Irving Finkel.2004. Asian Games: The Art of Contest，New York: Asian Society.p.43）一书所录，与满城汉墓所出最为相似；（4）湖南长沙马王堆西汉长沙相利仓之子墓随葬漆骰，1973年出土，所出漆木盒内还有博局、博棋、博筹等物。

图5 其他四件西汉骰子（上起：上述编号1-4）

作为一位人文学者，李零指出以上五件酒骰形制相同并联系到独孤信印，其观察是十分精准的；从文物考古的角度来看，说这五件西汉酒骰“属球形多面体”也不为错。至于二十六面体怎样切削，不是他关注的要点。《万变》一书给出的两幅骰子表面展开图也只是示意图，图6中的诸圆面与正三角形面无法拼出多面体来。

从数学上讲，以上五件酒骰皆与48等边半正多面体同构，其表面展开图应如图7所示。

图6 窦綰墓出土铜骰表面展开图[李零2016，454页]

图7 窦綰墓出土铜骰表面展开图[刘钝 2018]

除了上述独孤信印和西汉酒骰外，笔者还注意到另一件呈48等边半正多面体的古代器物。 2016年11月，笔者在中国科技大学博物馆参观古代玉器特展时，发现展品中有一枚玉珠，有关说明称：

棱面珠：白色，灯笼形，通天孔，另一面打孔为方形开口，应为便于安装固定之需。周身起愣若干，甚为罕见。

其来源未明，据云系唐代物品，与一玛瑙质地的马球置于一处；其形制与独孤信印完全一样而近似于上论西汉酒骰，是一个标准的48等边半正多面体。

图8 唐代48等边半正多面体玉珠

梅文鼎与孔林宗的半正多面体工作

在群论诞生以前，从几何结构上对半正多面体进行研究的不多。根据英国著名的希腊数学史家希斯（Thomas Little Heath， 1861-1960），保存在梵蒂冈图书馆的一份帕普士手稿的评注片段，包含一种通过正多面体截面获得某些半正多面体的方法。德国天文学家刻普勒在《宇宙的和谐》（Harmonices Mundi，1619）中也提到了这种方法。此外，意大利数学家阿尔伯蒂、帕乔利也研究过半正多面体，后者的《神圣比例》（Divina proportione，1509）一书包括若干半正多面体框架图，据悉出自大画家达芬奇之手。

清代康熙年间数学家梅文鼎通过明末来华传教士编译的《测量全义》等书，获知正多面体的零散知识，他又自撰《几何补编》对有关问题进行考察，内中涉及两种半正多面体，分别命名为“方灯”（24等边半正多面体）和“圆灯”（60等边半正多面体）：前者由正6面体（或正8面体）切割而来，后者由正12面体（或正20面体）切割而来，方法都是经由各棱的中点作截面，如图9、图10所示。

图9 梅文鼎之“方灯”[刘钝 1990，196页]

图10 梅文鼎之“圆灯”[刘钝 1990，196页]

梅文鼎在该书自序中称：“壬申（1692）春月，偶见馆童屈篾为灯，诧其为有法之形。”说明他是由儿童戏耍的灯笼之构造获得灵感，从而研究这两种规则立体的。“方灯”在中国、日本都比较常见，制法也相对简单。1984年2月16日元宵节夜，笔者在泉州开元寺观赏灯会，亦曾亲睹一具“圆灯”和众多“方灯”。可见梅文鼎“馆童屈篾为灯”之说不是虚构。

孔林宗是梅文鼎的朋友，对数学也有浓厚兴趣。在梅氏两种“灯体”的启发下，他又提出五种多面体，皆由正4、正6或正8面体切割而成。梅文鼎刻书时将他的结论作为“附记”收入《几何补编》，其文为：

四等面体，又可变为十八等边体：为六边之面四，为三边之面四，凡十二角。

（四等面体），又可变为二十四等面体：面皆三边，凸边二十四，凹边十二，十字之交六，凡八角如蒺藜形。

六等面体，又可变三十六等边体：为八边之面六，为三边之面八，凡二十四角。

八等面体，亦可变三十六等边体：为六边之面八，为四边之面六，凡二十四角。

（六等面体），又可变为四十八等边体：为四边之面十八，为三边之面八，凡二十四角。

除第二种之外，其余四种都是半正多面体，即：

（1）18等边半正多面体，由正4面体切割而成：共有4个正六边形面和4个正三角形面，18条棱，12个顶点。

（3）36等边半正多面体，由正6（或8）面体切割而成：共有6个正八边形面和8个正三角形面，36条棱，24个顶点。

（4）36等边半正多面体（又一种），由正8（或6）面体切割而成：共有8个正六边形面和6个正四边形面，36条棱，24个顶点。

（5）48等边半正多面体，由正6（或8）面体切割而成：共有18个正四边形面和8个正三角形面，48条棱，24个顶点。这就是独孤信印和本文讨论的西汉酒骰以及唐代玉珠的理想结构。

孔林宗提出的第二种多面体不是凸多面体，因此不满足欧拉定理。它是两个正交的正4面体之公共部分：共有24个凸的正三角形面和12个凹的正三角形面，24条棱可组成6个正交十字，8个顶点，如同蒺藜一般。蒺藜本是一种草本植物，明代兵书载有多种以蒺藜命名的冷、热兵器和路障，多数是正多面体的变形。

 图11 孔林宗提出的蒺藜形多面体

图12 《武经总要》中的铁蒺藜图 

48等边半正多面体作图法

孔林宗虽然明白48等边半正多面体可由立方体（或正8面体）切割而成，但并未提出具体的作法。中国古代的工匠也是凭着经验和对平衡对称的追求，制作出酒骰、信印等物来的。笔者在这里提供一个精确的几何作图法。

将立方体连同其内含的48等边半正多面体置于立体直角坐标系内，如图13。关键是在立方的六个面上作出半正多面体的诸顶点A、B等。

设立方棱长为1，半正多面体棱长为a，在图13中，有

图14表示立方体上B点所在的平面，以正方形顶点为圆心、对角线之半为半径作圆，交正方形之边于C、E等点，过C、E等点作边的垂线，垂线的交点B₁、B₂等就是所求48等边半正多面体的顶点。这是因为

图13 直角坐标系中的立方与48等边半正多面体[刘钝 2018]

图14 诸顶点B的几何作图法[刘钝 2018]

附录 13种半正多面体

上图采自《苏联大百科全书》（Большая советская энциклопедия）第3版第27卷，其中P₂、P₇分别为梅文鼎讨论的“方灯”和“圆灯”，P₁、P₃、P₄、P₅分别为孔林宗提出的第一、四、三、五种多面体，最后这一种P₅也是本文讨论的独孤信印等器物的几何同构。 

参考文献

1、Heath， Thomas L. 1921. A History of Greek Mathematics. 2 vols. Oxford: Oxford University Press.

2、李零.2016.说骰——从满城汉墓出土的酒骰和“宫中行乐钱”说起.万变.北京：三联书店.455-463.

3、刘钝. 1990. 梅文鼎在几何学领域中的若干贡献.梅荣照主编.明清数学史论文集.南京：江苏教育出版社.182-218.

4、王彬、张沛.2001.浅析独孤信煤精组印的特点及印文.陕西历史博物馆馆刊.第8辑. 西安：三秦出版社.292-296页.

5、王长丰主编.2016. 厚德载物：200件中国古代玉器.上海：交通大学出版社.107 .

6、魏子元.2016. 侧帽风流想象中.源流运动公众号. 北京大学考古文博学院.10月27日.

7、张沛.1985.旬阳出土的独孤信多面体煤精组印.文博.第2期. 95-96.

8、张艳鸽.2014.南北朝、隋唐时期独孤家族兴衰探析——以独孤信为例. 荆楚学刊.第3期. 24-28.

9、中国社会科学院考古研究所、河北省文物管理处.1980.满城汉墓发掘报告.北京：文物出版社.271-273.

10、[唐]李延寿.北史.卷六十一.列传四十九.独孤信传.

11、[唐]令狐德棻.周书.卷十六.列传八.独孤信传.

12、[清]梅文鼎. 几何补编. 梅氏丛书辑要. 卷二十五至卷二十八. 乾隆二十四年承学堂刊本.

原载《数学文化》2018年第9卷第1期

制版编辑 | 皮皮鱼

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