张志勇：GeoGebra视角下苏锡常镇一模卷13题的深度解读

正  文

原题：已知直线l:x-y+2=0与x轴交于点A，点P在直线l上．圆C: (x-2)²+y²=2上有且仅有一个点B满足AB垂直于BP，则点P的横坐标的取值集合为▲．

本题解答的常规思路：构造一过点A、B、P的圆（以AP为直径），当构造圆与圆C相切（内切或外切）时，满足“有且只有一点B，使得AB与BP垂直”；实际解题时有两个思路，一是直接用圆相切来列式，二是借助公切线方程（两圆方程相减）来构造。【本文是《对2018届“苏锡常镇”一模13、14题的思考》的补充，点击文末左下角“阅读原文”可查看】

学生解答的困难点：

1.无法转化，即将B点的存在唯一性转化为两圆位置关系（相切）来处理；

2.容易漏解，两种相切情况（外切和内切）易漏掉内切的情形。

借助数学软件GeoGebra的处理策略：

1.从试题文本解读的原意出发，先研究B点的存在性，即让B点在圆C上“动”起来，探讨P点的变动范围（即构造P相对于B的轨迹）；

2.再研究B点的唯一性，想到构造圆（由垂直，圆以AP为直径），在动态变化中发现“两圆相切”与“有且只有一个点B”的对应一致性；

3.构造两圆的相交弦（两圆相切时，相交弦退化为公切线，GGB中只要将两圆方程相减即可得到此直线方程），通过动态探究，从而确认此解法的合理性；

4.进一步观察，可以“看出”，P点位于轨迹（步骤1中得到）两端点时，对应着点B唯一存在（也就是两圆相切时），从而在“形”的角度得到问题的圆满解答，也为“数”的细致刻画提供思路和借鉴。

具体探究过程详见下面的动态图象。

GGB动画

作者简介

     张志勇，中小学高级教师，常州市高中数学学科带头人，常州市第五中学教师发展处主任，.新青年数学教师工作室“数学科普与现代教育技术研究小组”负责人。在《数学教育学报》、《数学通报》等期刊发表文章数十篇。