罗建宇：三角函数背景的应用题研究

本期介绍

2018年3月29日，罗建宇老师在江苏省常熟中学，于苏州市2018届高三数学二轮复习研讨会上执教《三角函数背景的应用题研究》，受到一致好评。征得作者同意，本期发布教学视频。

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作者介绍：罗建宇，张家港市沙洲中学副校长，张家港市中学数学学科带头人，苏州市教坛新秀“双十佳”，全国新青年数学教师工作室副理事长、教学研究小组负责人、苏州分站主持人，在《数学通报》、《数学通讯》等期刊发表教学论文80余篇，其中三篇被中国人民大学书报复印资料中心全文转载，在北京、上海、新疆等省内外开设讲座或专题报告20余场次，多次开设市级以上公开课。

视频链接

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作者注：本课在选题上基于课本和高考中的典型问题；在设计上期盼将命题、解题、品题融为一体；在学生生成和教学实践中有不少不足之处，请大家批评指正！

三角函数背景的应用题研究

1．（必修5第100页例3变式）过点P（1,2）的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，则当PA+PB取最小值时，直线l的斜率是____________                            

2．（选修2-2第56页第8题）如图，已知海岛A到海岸公路BC的距离AB为50km，B,C间的距离为100km，从A到C，先乘船，船速为25km/h，再乘汽车，车速为50km/h，登陆点应该选在何处，所用的时间最少？ 

3．（必修5第102页第11题）如图，有一壁画，最高点A处离地面4m，最低点B处离地面2m，若从离地高1.5m的C处观赏它，则离墙多远时，视角θ最大？

二、典型示例

例1.1（必修5第46页第13题）．如图，摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度是50m，摩天轮做匀速运动，每3min 转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处，在t(min)时点P距离地面的高度是_________                            

例1.2（2007年江苏）某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A,B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d= _____，其中t∈[0,60]

例2（2008年江苏）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知AB=20km,CB=10km,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且与A，B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm．

（1）按下列要求写出函数关系式：

① 设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；

② 设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式．

（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短．

例3（2010年江苏）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。

（1）该小组已经测得一组α，β的值，tanα =1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；

（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α-β最大？