2020年杭州市初中数学核心组教师高级研修培训——记5月15日线上直播培训活动

停课不停学，防疫不防研。2020年5月14日至16日，杭州市初中数学核心组教师高级研修培训（线上）火热进行。培训活动由杭州市基础教育研究室中学数学教研员王红权老师组织，参加人员有杭州市各区、县（市）教研员、优秀教师，杭州市核心组一期、二期成员与导师们等。

2020年5月15日上午

上午的活动由杭州市公益中学余波主持，由杭州市初中数学核心组（二期）的12位老师的进行主题报告。他们分别是桐庐县横村初级中学的吴火桂老师、杭州市嘉绿苑中学的陈小青老师、萧山区瓜沥镇党山初中的高磊老师、杭州银湖实验中学的俞嘉玲老师、浙江省杭州滨兴学校的孙利华老师、杭州市学正中学的施先力老师、杭州四季青中学的陈莉莉老师、杭州市启航中学的朱小利老师、钱塘新区新围初级中学的陶青老师、杭州市富阳区富春中学的胡明老师、杭州市余杭区临平第一中学的金夏丽老师和杭州市安吉路实验学校的杨建巧老师。

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核心组（二期）学员讲座分享

首先由来自桐庐县横村初级中学的吴火桂老师作主题为《基于三个一 解析双正方形问题——以杭州中考题为例》的报告。吴老师以2016年和2019年杭州中考第21题为案例，从三个视角（一题多问、一题多解、一题多变）展开研究。一题多问，主要基于教学立场和学生立场对一个几何问题开展思考；通过一题多解，拓宽解题的思路，总结解题的基本方法，归纳这类问题解题的基本结构；通过一题多变，拓展习题教学的深度和广度。每一道几何中考题命制过程都来之不易，吴老师通过对中考题的研究，让在座的老师深受启发，也让自己在思考的过程中受益匪浅。

陈小青老师就单元整体设计下的教学实践与思考，与大家分享交流。陈老师提出要努力对课标进行学习解读，重视对教材的对比分析，有意识地进行单元整体教学设计，最后尝试对教学内容进行调整，这也是在核心组跟着王红权老师和其他几位导师学习的收获。

陈老师又以二次根式、平行四边形及特殊平行四边形和函数教学三个板块为例介绍了如何安排单元整体设计，让与会老师受益匪浅。

高磊老师以一个正方形为背景的几何题为例，强调要重视解题后的知识再形成，注重方法的整合，力求探究一道题，解决一类题的观点。一题多解：多视角下分析问题，培养学生的发散性思维及联想能力，学会用不同的知识解决同一个问题，帮助学生开阔思路，把学过的知识和方法融会贯通，大大提升分析问题和解决问题的能力。多解归一：主要体现在方法整合，对一个问题学生可能会有多种解法，在解决问题后，可对共性方法进行整合归类，加深学生对数学原理、通性通法的认识，提高解题技巧与能力。多题归一：体会不同背景下蕴含的相同数学本质，达到以不变应万变的效果。

俞嘉玲老师以章建跃博士说的“注重整体性才是好的数学教学”开始自己的报告。认为防止碎片化教学，体现数学的整体性、连贯性、联系性，要进行单元—课时教学设计，即在进行课时教学设计之前先进行单元教学设计，主要对单元内容、《课程标准》规定的本单元内容按知识的发生发展过程、学生的认知过程分解到课时、蕴含的数学思想和方法、着重培养的数学学科核心素养及主要学习难点作出全面分析。俞老师以不等式的教学为例，从教学内容、教学需求、学情分析、课标要求、思想方法、学习难点多方面入手，阐述了如何设计不等式的教学。

孙利华老师带来的是一个说题讲座。这是一道在正方形背景下已知两个中点求线段长度的几何题，都是熟悉的元素，孙老师从这道题出发，带着大家尝试探究与中点有关的构图，实现线段长度的巧妙转化。如何玩转中点，与之相关的中位线、直角三角形斜边的中线、倍长中线作全等，各种奇思妙解娓娓道来，令人回味无穷。

施先力老师通过三个问题的解法，向大家讲述了运用基本模型解题的一点体会。《课标》中指出应当注重发展“几何直观”，也就是“能从较复杂的图形中分解出基本图形，并能分析基本图形中的基本元素及其关系，利用几何直观来进行思考”，具体的几何问题中，图形千变万化，有时纷繁复杂，有时残缺不全，造成解题困难。重视基本图形的积累，有助于对复杂图形进行合理分解，从中分离出基本图形，也有助于根据部分图形信息去联想完整的基本图形，为解题提供线索和思路。同时也有助于抓住图形的重点，看出问题的本质。多积累模型，对解法的多样性和对图形的结构认识会有一些帮助。

陈莉莉老师提出了关于图形旋转的单元整体教学设计，从课程标准、教学流程、学情分析、教学目标等方面阐述了单元设计的可行性，并设计了教学的例题和学习过程，最后还提出了自己在研究过程中的一些疑惑，供大家分享和感悟。

朱小利老师由一个来自中考二轮复习中遇到的图形变化问题产生的灵感，讲述重视图形变化，揭示解题思路。朱老师以一个经典几何题为例，先讲述了这个经典图形中的不变性，接着开始玩转图形，依次变化公共顶点、变化方向，把简单的图形玩出了新的花样，最后引出了两个中考题，竟然可以用类似的方法轻松的解决。

陶青老师带来的是对单元主题式学习的一点思考。陶老师从相关概念、单元主题式学习的概念和案例分享三个方面进行阐述。陶老师分享了关于图形与几何大单元中“圆”这一主题的一些想法，从分析课标、明确圆的相关要素、研究基本性质、研究相关要素及其关系等各个环节进行了说明。

胡明老师介绍了关于两类多变量问题的解决方法。胡老师把多变量问题分为纵向和横向两种类型，从问题呈现、问题解决、方法评析、中考延伸四个方面阐述了自己的研究观点，最后总结了两类问题的共性，并利用这个方法进行应用，解决了2019年的一个中考题。

金夏丽老师带来的讲座是初中整体视角下函数的教学与对比。金老师提出函数教学要经历三个阶段，第一阶段是感受、探索、尝试，获得函数的感性认识，第二阶段是归纳概括出函数的定义，研究函数及其性质，了解研究函数的基本方法，借助函数的知识和方法解决问题等，使得学生能够在操作层面认识和理解函数，第三阶段是了解函数和其他相关教学内容之间的联系。最后介绍了初中函数教学中的三类函数的学习要求和研究方法。

最后出场的杨建巧老师以核心组的每日一题为例，讲述了解题的灵感如何触发，如何从图形和条件中发现基本模型，释放出它们具备的神奇力量。看到 BC²－AC²这结构联想到勾股定理，AB•AC结合圆,联想到幂定理等等，一个简单的图形发散出多种的思维和方法，杨老师带大家走入了一个神奇的数学世界。

上午的活动持续了三个多小时，但是给与会老师的感觉是转瞬即逝，意犹未尽，12位老师用他们的数学智慧帮大家碰撞出思维的火花。

2020年5月15日下午

下午的活动由杭州市公益中学王雪老师主持。活动内容为导师讲座专场，展示专家型教师对初中数学教学的研究路径以及科研范式。

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核心组（二期）导师讲座分享

首先由杭州市江干区教育发展研究院的曹建军老师为大家作题为《如何教图形性质的探索》的讲座。曹建军老师持续思考课标中几何定理的教学要求的描述词汇，通过具体例子通俗易懂的揭示了“探索”“探索并掌握”“探索并证明”等词背后所指向的具体课堂教学操作，并厘清了“探索”与“证明”的关系，认为：图形性质的“探索”要注重“探索发现”和“演绎证明”的有机结合；有必要介绍“同一法”，体现间接证法的价值和探索过程的完整性，发展学生的推理素养。

第二个讲座由杭州市滨江区教师进修学校的金红江老师带来的《关于习题课教学的思考》，金老师认为习题课教学应该基于整体分析教学内容，把握好练习的目的性，有针对性地选择数量适当的题目，使学生得到有的放矢的解题训练，并能在解题过程中提出新的问题，以此帮助学生梳理知识结构，完善知识体系，挖掘知识背后的数学思想，提高知识技能的掌握水平。金老师以“一元二次方程的解法”为例，从揭示“四种解法的内在一致性”上让学生明确解一元二次方程的本质——即通过“降次”实现化“二次”方程为两个“一次”方程这一化归思想，由此会根据一元二次方程特点选择合适的解法。通过一例（解四道方程）一练（解两道方程）来积累解题经验。在解题过程中进一步提出“√（x-1）＝2怎样解”，通过思考、例题讲解、变式练习，进一步让学生体会化“高次”为“一次”、化“根式方程”为“整式方程”这种化“未知”为“已知”的化归思想．从而让学生不局限于一元二次方程解法各自的解题程序，能够从整体上系统、全面地理解解法，能够从联系之中体会化归思想的精髓，能够更好地接受、理解和掌握解法．

第三个讲座由杭州市钱塘新区教师教育学院的童永芳老师带来的对《立方和与立方差公式》的教学思考，从系统的观点看多项式乘法运算，设定教学目标并进行详细解析，明确教学重点与难点，童老师对教学过程进行了体系化的设计，回顾两个公式，建立通过结构特征来探究归纳立方和与立方差公式，并进行公式证明以及题组辨析，深化理解立方和与立方差公式；通过几何直观的方式解释，形象地理解立方和与立方差公式；通过逆向思维的方式运算，根据基本组成因式来判断公式中的基本元素，总结出两种方法，一是从二项的因式判断，二是从积去判断，将积化为两数的立方和（或差）。最后，提出立方和与立方差公式的反思小结方式，进行两步审查，即对乘式的两个因式要分两步分别审查，从二项式的因式判断公式中的a与b，又从乘式的三项式看是否符合公式的使用条件，然后再运用公式。同时对立方和与立方差公式总结出进行复杂的整式乘法运算以及逆用公式进行代数式求值等应用价值。

第四个讲座由杭州市建兰中学的黄剑老师带来的对《基于AI技术的初中数学精准教学研究》的经验分享，黄老师首先介绍了“建兰大脑”，即遵循“城市大脑”的理念，沉淀打通大数据，以互联网为基础设施，对学校的教育教学活动进行无感沉淀，自动形成丰富、清晰、多维度的学校数据资源并进行即时分析、诊断、预警、监控、反馈并提供学生个性化学习的人工智能系统。

接下来，黄老师介绍了学校的智能教研（题库、知识图谱、课程资源、智能组卷、学情分析等），通过知识点与知识点的包含关系来构建知识体系；通过了解学生学习该知识点之前需要先掌握另外一个层级更低的知识点来建立前后置关系，其整理目的是为了判断学生的知识掌握情况，将题目、资源解构，能更精准的推送给学生，并为知识图谱打基础。最后，黄老师介绍了建兰中学的小兰题库、校本优化、学情诊断等资源，切实地减轻学生作业重负，提升学业水平，更新教师教学观念，技术赋能教学，变革学生学习方式，优化学习策略。

第五个讲座由杭州市丁蕙实验中学的王丽丽老师带来的对《平行线的判定》的教学研究，王老师首先介绍了一下选题的背景以及地位，对比浙教版与人教版教材进行了选题剖析，然后对课程标准的相关要求进行解读，对教学内容解析，即本课教学作为“推理”的入门阶段，学生对图形的判定方法第一次进行系统研究，从实验几何向论证几何过渡，为后继平行线性质的学习提供条件，为其他图形的判定研究提供范式；对教学目标进行设置与解析；同时，对教学问题进行诊断，确定教学难点，提出了“如何获取研究对象？”、“学生在有限不延伸的范围内会用什么方法画出无限延伸的两条平行线？”等问题，作为本节课的探究重点。  

王老师引经据典，从《墨经》讲到《御制数理精蕴》，再到《几何原本》，最后到项武义先生的《中学数学实验教材》，作为教学片断设计的依据。最后，王老师提出，先构建知识框架，再展开具体研究；尝试理解“探索”。数学知识点之间充满无限关联。帮助学生先构建知识整体框架，让学生数学学习见木之时站得更高，见到森林，则能将新知纳入体系，零碎的知识片段有效链接，就能促成学生对知识的进一步内化和重新建构，体验数学的简洁、严密，有效培养数学逻辑思维能力。

第六个讲座由杭州市下城区教师教育学院的戴秀梅老师带来的对《怎样从解题中提炼问题 》的教学研究，戴秀梅老师别出心裁的运用几何画板探究展示。

首先，戴老师以2013年全国初联试题为例，介绍了几何常见中的动点问题中最值的解决路径，通过点关于线的对称点的构建，从而实现最值问题的突破，同时戴老师发现，运用几何画板改变动点的位置，发现该几何图形还有很多相关位置关系，戴老师总结，在问题解决中，“固定E点”目的是“控制变量”设置台阶，最终把“周长最小值”问题转化为“两点之间线段最短问题”、“垂线段最短”问题。接下来，戴老师提出了关注条件中“边与角”的大小，将角的大小一般化，基于图形的数量关系和位置关系对所得结论进行探究推广；关注条件中的“三角形的形状”，通过运用几何画板调整三角形的形状，从锐角三角形到钝角三角形结论的探究进行变式探究，从而来完善结论；关注结论中“运算”的属性来衍生新结论：从最小值的讨论到取值范围的探究以及动点问题中，点在边上到点在延长线的探究。

戴老师的讲座得到了杭州市基础教研室王红权老师的充分肯定，称其为核心组学员的“成长加速器”。

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王红权老师点评全天活动

王老师说：持续的思考和积累是成长路上最好的老师。成长路上可以思考的东西太多，忙不过来，怎么办？总结名师成长的历程，有一条经验是共同的：专注于几个问题，持续思考，积累到一定程度，就成为专家。事实上这可以从今天作报告的导师身上得到印证，曹建军老师持续思考课标中几何定理的教学要求的描述词汇，通过具体例子通俗易懂地揭示了“探索”、“探索并掌握”、“探索并证明”等词背后所指向的具体课堂教学操作；王丽丽老师对自己参与过的一个说课课题持续思考，不断反思，终于寻得探索平行线判定的探索之源；戴秀梅老师对自己提供的一个几何问题深入研究，锲而不舍，最终获得了对问题的全方位的认识。其他导师如黄剑老师专注于技术的研究，童永芳老师专注以拓展性课程的研究，金红江老师专注于习题课的研究，都获得了实质性的成果。

学员的表现也个个都是棒棒的！从报告可以看出，研究对象已经有点有面，研究方法已经有章有法，研究成果已经可圈可点，研究精神可喜可贺。成长的路可能很长，思考的过程可能曲折，唯有思考，思考，再思考！持续，持续，再持续！才能达到成功的彼岸。

图文：余  波、王  雪

审核：李  馨