孙四周：现象教学起始课
文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。
在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。
专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题
近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。
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现象教学起始课
——以《弧度制》为例
孙四周
内容提要：现象教学强调“回到问题本身”，它的起始课主张从真实的现象出发，通过观察和思考，形成学生自己的表达（知识）。对于概念和结构，应当着眼于自然生成。现象教学不排斥讲授法，但只能讲授学生无法生成的内容；现象教学也不排斥情境教学，真实的情境就是现象。
关键词：起始课 现象教学生成弧度制
起始课除了引入课题、介绍核心概念以外，往往会呈现对课题的整体看法，以及研究的方法和路径，给后面的课程定下基调。因此起始课素为教材编写者所看重，也往往是教师着力最深的地方。
课题怎么引入？核心概念从哪里来？这就从牵扯到知识观、学生观和教学观了。现象教学主张直面真实的世界，通过对现象的观察、思考而形成心理表征和符号表征，即形成属于自己的语言表达，这就从根本上杜绝了简单灌输。下面就以弧度制教学为例，谈一谈现象教学视角下的起始课教学。
1问题本身
“回到问题本身”是现象教学的唯一口号，研究什么就直接面对.当然这要求教师对课程有个明确的定位，即“它究竟是什么”。
“弧度制”是什么？可以说它是知识，但是作为教师不能止步于此，还应当明白它是什么性质的知识，比如要认清它是陈述性知识、程序性知识，还是策略性知识.
弧度制有两个内容，一是弧度制的定义，二是弧度制与角度制的换算.如果把弧度制的定义当作陈述性知识，讲授就就太容易了，“半径长的弧所对的圆心角”，一句话就可以说明白.如果把弧度制和角度制的换算当作程序性知识，根据此前多次进行的不同度量制的换算，学生掌握起来也不会觉得太困难.这么说来，本节课似乎没有什么可研究的.以往常见的教法也是先说说定义，再训练一下换算，然后记
用现象教学的观点看，将与上面截然不同. 这节课的“问题本身”不是弧度制，而是“角的度量”，弧度制只是“度量”方式之一. 要让学生面对一个几何实体——角，而不是面对一个知识点——弧度制.如此一来，学生要做的事情就很多了，比如：明显可感觉到角是有大小，但什么是“角的大小”？怎样进行角的度量、有哪些可能的度量方式、为什么要引进弧度制，以及什么是弧度制、它从哪里来又到哪里去……说穿了，“角”是一种现象，“角的度量”是人类活动，“弧度制”是人类活动的成果.这节课的最终成果就是：用“1弧度”作为单位来度量，比较简单，更容易被应用，因此就更为重要，也就被当做了一个重要范式，并被上升为科学或文化，如是而已.
【我的设计】
师：请同学们拿出纸和笔，我们来画三角形.
生：（准备）.
师：先随便画一个三角形.接着，画一个小一点的三角形、再画一个更小的、更小的、小到看不见……（学生一直在画三角形）。
回到第一个三角形，现在来画一个大一点的、再画一个更大的、更大的、大到超出纸面的……用手在空中比划一个，它可以超出这个宇宙……
师：这些三角形小到看不见，大到超出宇宙，它们的内角和——
生：都等于180°.
师：大大小小的三角形，内角和都一样，为什么？
生：因为角的大小与边的长短无关，角的边是射线.
师：所以，我们度量角并不是度量角两边的长度.那是度量什么的？
生1：度量角对边的长度.
师：那么是不是对边越长，角就越大？
学：不是。
生2：度量角所对的弧的长度.
师：是不是所对的弧越长，角就越大？
生：还不是。
生3：是度量角所对弧的度数.
师：什么叫弧的度数？
生3：就是看那段弧含有多少度.
师：那么，1°的弧是怎么定义的？
生：就是一个圆周的360分之一.
师：很好.我们回到了角度制的定义，就把问题看清楚了.“1°角”是指圆周360分之一的弧所对的圆心角.那么，这里定义的1°角与圆的半径长短有关系吗？
生：没有，都是把圆周360等分，每个圆的每一个份所对的圆心角都相等，都是1°角.
师：那么，给你一个圆，你会把它360等分吗？
生：不会.
师：如此说来，要得到1°的角并不容易.
生：用量角器.
师：量角器也是人造出来的，又该怎样制作量角器上的刻度线呢？……实际上，人类需要测量的东西很多，最容易测量是什么呢?
生：是长度。
师：那面积呢?体积呢?
生:面积、体积等都不是直接测量的，是通过长度计算出来的.
师:是的。就算是温度、重量、电流强度等，这些与长度无关的量，也都转化为对长度的测量，比如温度计、杆秤、电流表等。就是对时间的测量，也是转化为长度的。这些都不奇怪，人的眼睛能够看到的就是长度。那么，角的测量是不是也这样呢？
由此可以看到，在不同的圆里，弧长等于半径长的弧所对的圆心角大小相等.这个角很特别，我们就称它是1弧度的角，记为1rad.（写出完整定义（此处略））
师：定义1rad的角，是想干什么？
生：可以用这个角区度量其他角.
师：你能画出2rad的角吗？
生：（两个半径长的弧所对的圆心角，用半径长的漆包线截取两次即可）
师：3rad的角呢？
生：截3次.
上述的教学过程，不是告诉学生什么样的角是1rad，而是从“怎样度量角”开始，把这个当作问题的起源，也是活动的出发点.很自然地发现可以用“手里已有”的半径作单位，于是引进了一种度量形式.或许有人会说，如果用半径当弦，不是也可以定义一个圆心角（这个角是60°）吗？问题是，如果用“等于半径的弦所对的圆心角当作1个单位”，长度等于2个径的弦所对的圆心角就不是2单位，这不符合我们的几何直观.当然，如果学生没有提出这样的问题，老师不必要主动涉及（为了保了保持生成的流畅性）.类似的，大圆和小圆中，长度等于半径的弧所对的圆心角相等，这一点也是不去证明的.利用人的直觉，在教学中不但是可以的还是提倡的，只要直觉符合逻辑就不必生硬地转到逻辑上。
2联系与结构
任何一个独立的概念都是没有价值的，也是不容易记住的.在新的概念形成后，就要和原先的认知体系建立联系，向着结构化方向发展.布鲁纳的观点是：教授任何一门学科，都必须让学生理解这个学科的基本结构。
【我的设计（续1）】
师：我们来画一个稍微大一点的角，6弧度的.
（说明：上面已经画过2弧度、3弧度的角，可是在画6弧度的角时学生犹豫了起来.原因是：“6弧度的角”有没有超过1周角？这不是能用眼睛看出来的，必须经过精细的计算）.
3 背景与展望
一般来讲，起始课会介绍知识的产生背景、逻辑演进并对应用前景作出展望，这其实是哲学基本问题“我是谁、我从哪里来、我到哪里去”的具体化.现象教学的起始课同样要关注这三个问题.介绍历史事实，容易找到知识的固着点；理解逻辑顺序，容易建立知识结构；展望应用前景，可以提高学习兴趣、增强学习动机.
【我的设计（续2）】
师：总结出下面的对应关系（板书）：
师：当我们把角的弧度数当作实数看待的时候，对它的运算、求解等等都会带来很大的便利.相信同学们对度分秒运算时的困难已有所体会，那样的困难在弧度制里已经消除.是谁那么机智，发明出用弧度制来度量角呢？
4 知识拓展
接下来是历史介绍，从度分秒制、弧度制、密位制，谈角的度量演化史，让学生了解人类不停的探索历程，可详可略，大致如下：
1弧度这个单位太大，虽然理论上方便但在实际中用起来不便于精确度量（特别是在军事上），于是毫弧度（mRad）就应运而生。“毫”通常是指一千分之一，显然：1Rad=1000mRad它的意义为：在半径为1000的圆周上，1个单位的弧长对应的圆心角为1毫弧度。对于360°的圆周，就有：360°=2πRad=2000πmRad≈2000×3.1416mRad=6283.2mRad.因为6283.2不是一个整数，人们便将它取整。俄罗斯人将其取整为6000，它的优点是计算方便。以法国为代表的西方国家将其取整为6400，它的优点是在制作机械罗盘时，进行6次二等分后它为100，是个整数，容易画刻度。也有的国家将其取整为6300，这个取法的优点是与毫弧度最为接近，不过意义不大。取整后这个角度单位就不能称为毫弧度了，于是给它取了个新的名字叫mil。有人说它最早是由德国人创立的，估计该角度单位最早应该用在航海上。mil翻译成中文叫密位，可见密位是由毫弧度转化来的，二者非常接近。于是就有：360°=6000mil（俄制）或360°=6400mil（法制）.
咱们中国呢？大陆采用6000 密位制，台湾采用6400密位制。在角的度量上，咱们中国早就实行了一国两制。随着计算机的广泛应用，计算已经不是问题，所以在有计算机的系统中不再使用密位作角度单位，而是直接用毫弧度了，因而自动在新观念下实现了统一。
在谈背景与展望时，应当注意以下几点：
（1）注重人类思想进步的脉络，略去琐碎的细节，对细节的过分关注有害于对事物的整体理解.很多时候没有必要强调领先世界多少年，那种廉价的虚荣心不需要.即使从“爱国主义”角度看，如果在领先的某个点上大肆渲染，在不领先的地方便只能顾左右而言他。在世界越来越一体化的今天，不能给学生留下这样的潜意识：我们要和全世界比高低.应该融入世界而不是征服世界,这是价值观也是胸怀.
（2）描述前景时只能向学生介绍能听懂的，或者稍加解释就能听懂的部分，完全听不懂的不能介绍.人不是因为看见而知道，而是因为知道而看见.人只能看到所懂的那一个层次，超出这个层次的，凭口头告知没有效果.比如在弧度制这节课上，就不适合介绍炮兵是怎样用“密位”瞄准目标的，尽管它很有趣.
（3）起始课上要不要介绍整个课程（一整章或一整节）的概念图？我认为没有必要，除非学生能懂.当然，概念图在总结课上是很有价值的。
结语
鉴于起始课为后续教学“定了调”，故尤其要“以学定教”.
老师对知识的了解肯定远远多于教材所给予的，因此要注意别把课堂变成知识的展示.弧度制这节课，“我的设计”及“续”里反复让学生画图，就是要让他们充分活动，以获得切身体验，体验过的才能被感悟. 现象教学不排斥讲授法，但只能讲授学生无法生成的内容，比如学术名词、人为约定、专用符号等；现象教学也不排斥情境教学法，真实的情境就是现象。因此，现象教学可以吸收以前诸多教学法的优点，使得学生在真实的现象面前进行真实的思考、获得属于自己的实在的知识。
给予学生知识，他们能学会，路径是了解、理解、掌握、应用、综合、评价；给予学生现象，他们能用数学的眼光观察它、用数学的思维思考它、用数学的语言表达它。虽然最后都能得到知识，但后者才关乎核心素养。如果进行层次上的区分，则现象是形而下的，知识是形而上的。当把知识当作现象对待的时候，就可能产生高于它的知识，人类的文明因此而进步。所以，现象教学与知识教学的区别，主要是观念上的而不是技术上的。现象教学着眼于人的发展，而不是让人去继承或记忆（知识）。
目前，世界各国都在呼吁教育变革，显然是对教育现状的不满。那么，改什么？肯定不能停留在技术、手段和技巧上，必须有观念上的转变。如果用先进的技术、娴熟的手段、高超的技巧，去落实旧有的观念，那就不是“变革”而是“强化”。
教育的变革从观念开始，教学的变革从起始课开始。现象教学的起始课，确有变革的意味。
参考文献
[1]何睦，罗建宇，高中数学章节起始课的教学研究与案例设计[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2019.5.
[2]孙四周，现象教学[M].长春：吉林教育出版社，2019.5.
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人大复印报刊资料，初中数学教与学，2018.7（33-35）
[4]孙四周，现象教学的内涵与价值[J].教育研究与评论，2018.3（5-9）
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