来认识一下熟练高位数四则运算、复杂分数运算、勾股定理和开方的杜甫
杜甫有一首《不归》诗，怀念一位从弟：
河间尚征伐，汝骨在空城。
从弟人皆有，终身恨不平。
数金怜俊迈，总角爱聪明。
面上三年土，春风草又生。
宋代蔡梦弼《草堂诗笺》解释其中“数金”一语：“数，所具切，计也。谓幼之时识钱数也。”清仇兆鳌注引明胡夏客说：“数金，用‘河间姹女数钱’语，以应河间。”如果按蔡氏所说，“数金”就是年幼时识钱数，未免有点太小瞧这位从弟了。“河间姹女工数钱”则是汉代童谣（见《后汉书·五行志》），唐人常用此典来歌咏妓女，原文也不能改成“数金”，应该和这首诗没有关系。实际上，诗中此句是讲从弟“总角”时学习聪颖，“数金”是讲他的计算能力。《九章算术》卷七有这样的例题：“今有共买金，人出四百盈三千四百，人出三百盈一百，问人数、金价各几何？答曰：三十三人，金价九千八百。”金不仅是交易物，而且用于计算物值、表示物价，所以常常被用来当作演算例题。杜甫和我们今天的看法差不多，认为数学能力可以代表一个人的聪明程度。我们从这首诗可以了解到唐代士人接受数学教育的情况。
那么，杜甫本人的数学能力达到什么水平呢？下面从他的文章里找一些证据。肃宗上元二年（761），杜甫在西川蜀州为唐兴县令王潜作《唐兴县客馆记》，结尾说：
自辛丑岁秋分大馀二，小馀二千一百八十八，杜氏之老记已。
这里所说的秋分大馀、小馀，是表示节气的干支日和时刻。大馀表示干支日，小馀表示时刻。由于唐代多次改历，不同历法设定的日分数不同，因此推算出的小馀数值也不相同。根据杜甫提供的大馀、小馀数值加以验算，结果证明他所依据的是唐玄宗开元年间颁行的《大衍历》。
古代历法都会设定一个历法起始时间，称上元。《大衍历》给出自上元至开元十二年（724）的年数（称积算）为96961740年。据此推算，自上元至761年的积算为96961777年。历法还要设定一个日分数，《大衍历》设定的日分数（称通法）为3040分。一个回归年（即二十四节气一循环）为
用策实乘以积算，所得结果称作中积分，即从上元开始到运算所求这一年的天正冬至的总日分。到761年应为：
以中积分除以通法3040，所得结果即是积日：
积日满60（即干支一周，《大衍历》称为爻数）即除去，剩下的馀数称作大馀。小馀则是不满一日日分数（在《大衍历》中是3040）的馀数。在此例中，积日／60的整数部分为590245780，这样就可以得出761年冬至的大、小馀：
所得结果中的整数28，即是大馀。根据大馀数可以求得干支日，不过要从甲子次日起算，数到28是壬辰，也就是此年冬至日的干支。所得结果中的小数部分即是小馀：0.78651×3040＝2390.9904（日分）。
求出冬至日的大馀、小馀，然后可以根据“三元之策”推求其他节气的大馀、小馀。《大衍历》给出的“三元之策”公式是：“三元之策，一十五；馀，六百六十四；秒，七。”（见《旧唐书·历志》）即每一个节气所含日数为
从冬至到秋分共18个节气，用此年冬至小馀加18个节气整日之外的馀数：
满3040为一日，除去：
所得结果2188，就是此年秋分小馀。
冬至大馀加18个节气整日数，再加小馀满整日数的4日：
满60（爻数，干支一周）即除去：
得此年秋分大馀2。据此推算出此年秋分在八月十三日丙寅。
以上演算结果与杜甫给出的761年秋分大、小馀数据完全吻合。肃宗时期已颁行《至德历》，杜甫特意给出的这两个数据应当是他据《大衍历》自己推算出的结果，其中需要进行高位数的四则运算和相当复杂的分数运算。杜甫是借用这种方式来表达他对开元盛世的怀念。这表明他年轻时曾学习过历法，并掌握其中基本的演算方法。
杜甫还作有《唐故范阳太君卢氏墓志》，卢氏是他的继祖母，也就是他祖父杜审言的继室。文中记述卢氏下葬情况：
将入著作之大茔，在县首阳之东原，我太君用甲之穴，礼也。……茔内西北去府君墓二十四步，则壬甲可知矣。
在此大茔中，府君（杜审言）葬壬穴，卢氏后葬取甲穴，所采用的是唐代流行的六甲八卦冢葬法。其法是将墓地横向、纵向皆七分之，共得四十九穴，中心一穴称地心明堂。其外三重，为天、地、人穴。帝王用天穴（中八穴），诸侯用地穴（次十六穴），卿大夫以下用人穴（最外一重）。人穴依二十四方位排列，但其中只有甲、丙、庚、壬四穴为吉穴，其他二十穴不可用。杜审言取壬穴，是因为杜姓属于五姓（宫商角徵羽）中的商姓，利壬穴。壬在北，甲在东，府君墓恰好在卢氏墓西北。
按照葬法，取穴不但要合甲丙庚壬，而且要与十二建除中的“满定成开”相交。其法是将墓地横向、纵向皆十三分之（之所以十三分，是为了留出地心明堂，所以只能取单数），从四个方向起建除（建除又与神煞、干支配合）。在十二建除（建、除、满、平、定、执、破、危、成、收、开、闭）中，满、定、成、开分别位于第三、五、九、十一位。这样，从四个方向分别起建除，就会在由每个方向而来的第三、五、九、十一位上形成四个交汇点，满足“满定成开”相交的要求。这四个交汇点恰好处在甲丙庚壬四个方位的延长线上，也就是甲丙庚壬四穴的取穴处。宋代《地理新书》卷十三有“禽交吉穴之图”：
图中虚线表示七分分之，实线表示十三分之。下方（北）壬所相对、左方（东）甲所相对两点，即分别是壬、甲二穴的取穴处。杜甫文中所说“二十四步”，即是这两点之间的斜向距离。如图：
《地理新书》卷十三“禽交六尺立成法”中共列出“甲辰冢壬穴”和“乾冢壬穴”七种规格的墓地大小长阔（宽）。经过逐一对比后，我们发现“乾冢壬穴”中一块规格最大的墓地与杜氏大茔最为吻合。该墓地“东西三十九步，南北五十一步”（1步＝5尺）。按“禽交吉穴之图”，对这块墓地各边十三分之，甲穴与壬穴的横向（东西）距离为7⁄13×39（步），纵向距离（南北）为3⁄13×51（步），分别是上图直角三角形中两条边的长度。杜甫文中的“二十四步”，则是这个直角三角形中斜边（弦）的长度。根据勾股定理
所得数据只有微小差别，几乎可以不计，两者并非偶然相合。
卢氏下葬离杜审言去世已三十馀年，她葬于甲穴，是按照“卧马”葬法，后葬附前葬不能排成一列，而要取“雁行斜向”之势。这时，要找到甲穴的正确位置，需要按照葬书所列墓地规格，由壬穴东行21步（7⁄13×39），再向南行11步3尺8寸（3⁄13×51）即得，然后可以用斜行24步进行验算。两者相合，即保证位置准确无误。这就是杜甫在文中给出“二十四步”数据的原因。葬书只给出长阔步尺，斜向距离需要自己运用数学知识进行演算。尽管勾股定理的实用性很强，普通土木工人也会运用“勾三股四弦五”的口诀找方（直角），但要进行上面这例运算，就必须掌握《九章算术》第九章中才介绍的勾股定理公式以及开方。
从以上这两个例子来看，杜甫的数学知识虽然还不能与数学家相提并论，但放到现在，还是能够与一般接受中等教育的人一比高下的。
>原题《杜甫的数学知识》，载《古典文学知识》2013年第2期
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