出色不如走运 (IV)?

作者：石川，北京量信投资管理有限公司创始合伙人，清华大学学士、硕士，麻省理工学院博士。

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摘

要

继 Harvey, Liu, and Zhu (2016) 把因子显著性 t-statistic 阈值提升到 3.0 之后，如今它又被提升到 3.4 以上？

00

引言

上周，Review of Financial Studies 发布了最新的一刊（2020 年五月刊）。令人颇为惊喜的是，它是一个关于股票截面收益率研究新方法的特刊（Special Issue: New methods in the cross-section）。

下图是这期的封面，罗列它所包含的文章。除了第一篇是来自编辑的介绍软文外，从第二篇 Eugene Fama 和老搭档 Ken French 的文章开始就是被收录的论文。大咖云集、众星闪耀。

关于这 9 篇论文，本公众号和 [因子动物园] 之前零星介绍过一些（因为有些能够在 SSRN 上拿到早期的研究手稿），例如 Fama and French (2020)，Daniel et al. (2020) 以及 Gu, Kelly, and Xiu (2020) 等；另外相信各位小伙伴对于 Hou, Xue, and Zhang (2020) 的 Replicating Anomalies 也一定不陌生（这篇文章终于见刊了！）。

本文的目的并非逐一介绍这个特刊收录每篇论文，而是重点关注其中的一篇。也许各位已经从本文的题目猜到了，它是《出色不如走运》系列的最新一篇，而这一系列所阐述的都是到底如何排除运气的成分、找到真正显著的异象。因此，本文的主要内容就是介绍 Chordia, Goyal, and Saretto (2020) 这篇题为 Anomalies and false rejections 的论文。

当然，由于特刊过于精彩，它精彩的勾勒出关于截面预期收益率研究的三个趋势。因此本文也会对其进行简要介绍。下文的第一节将会深入浅出的解读 Chordia, Goyal, and Saretto (2020)；第二节会介绍特刊中的三大趋势；第三节总结。

需要背景知识的小伙伴，请参考本系列的前几篇文章《出色不如走运?》、《出色不如走运(II)?》以及《出色不如走运(III)?》。

01

Chordia, Goyal, and Saretto (2020)

本节简要介绍 Chordia, Goyal, and Saretto (2020) 一文的核心思想和结论。行文会尽可能采用直白的方式，辅以少量（？）的公式。对技术细节感兴趣的小伙伴请直接阅读论文原文。

近年来，学术界越来越重视多重假设检验（multiple hypothesis testing，简称 MHT 问题）对异象显著性的影响。所谓 MHT 问题，就是说当很多学者对着同样的数据（过去几十年的美股数据）挖异象的时候，仅靠运气就能发现很多显著的异象。举个具象一些的例子，比如同时测了 100 个异象，其中最高的那个的 t-statistic 就会很高 —— 哪怕从金融学角度来说它可能和股票收益率根本没什么关联。

MHT 问题的存在使得单一检验的 t-statistic 被高估了，即里面有运气的成分。当排除了运气成分后，该异象很可不再显著。如果仍然按照传统意义上的 2.0 作为 t-statistic 阈值来评价异象是否显著，一定会有很多 false rejections。MHT 问题的核心就是控制 false rejections 发生的概率。这意味着，单一异象的 t-statistic 只有比传统意义上的 2.0 要高的多，那么这个异象才在控制了 false rejections 概率之后仍然有可能是真实的。

因此，问题的核心就是：t-statistic 的阈值应该是多少？

关于这个问题，统计学和医学界做过大量的研究。而金融领域开始（格外）重视它大概是在近 5 年。其中的代表是 Harvey, Liu, and Zhu (2016) 这篇同样发表在 Review of Financial Studies 上的论文，它把 t-statistic 从 2.0 提升至 3.0。而今天的这篇 Chordia, Goyal, and Saretto (2020) 从某种程度上正是对标了 Harvey, Liu, and Zhu (2016)。

为了回答 t-statistic 阈值是多少，需要有两个问题需要解决。先来看第一个，即使用何种算法来控制 false rejections 的概率。就这个问题，学术界提出了很多不同的方法，下面借助下表来解释它们。

假设一共研究了 S 个异象，其中 S_0 个在原假设下为真（即不能预测收益率），S_1 个在原假设下为假（即能够预测收益率）。接下来，按 5% 的显著性水平对每个 hypothesis 进行检验，并一共拒绝了 R 个假设，其中 F_1 个 false rejections（因为它们的原假设为真）。使用 F_1 和 R 可以定义一些不同的统计量，而不同的 MHT 算法是以控制不同的统计量为目标。这些统计量包括三大类：FWER、FDR 和 FDP。

FWER 是 familywise error rate，控制它相当于：

其中 α 为显著性水平。由定义可知，FWER 是控制出现 1 个 false rejection 的概率。常见的算法包括 Bonferroni 和 Holm 方法（见《出色不如走运(II)?》），以及 White (2000) 的 bootstrap reality check 算法和 Romano and Wolf (2005) 的 StepM 算法等。毫无疑问，这个控制太过严苛，不适用于分析异象。

FDR 是 false discover rate，它是 F_1/R 的期望。因此控制它相当于：

从定义可知，FDR 比 FWER 要温和得多，它允许 F_1 着 R 的增大而成比例上升。常见的算法为 BHY 方法（见《出色不如走运(II)?》）。

FDP 是 false discovery proportion，它和 FDR 类似，控制它相当于：

它的含义是控制伪发现比例（F_1/R）超过 γ 的概率低于显著性水平 α。这其中著名的算法包括 Romano and Wolf (2007) 以及 Romano, Shaikh, and Wolf (2008)。

Chordia, Goyal, and Saretto (2020) 选择的控制 false rejections 的对象是控制 FDP（他们并非“凭空想象”而是给出了理由）。该文采用了 Romano and Wolf (2007) 以及 Romano, Shaikh, and Wolf (2008) 的算法，并结合 bootstrap 方法以保留异象之间的相关性。具体方法本文暂且不表，感兴趣的朋友请参考论文原文，因为选择哪种控制算法并不是 Chordia, Goyal, and Saretto (2020) 一文的核心贡献。

前文说过，要找到正确的阈值，需要解决两个问题。第一个问题是选择如何控制 false rejections。但是，这并不是问题的关键。计算 t-statistic 阈值的关键是下面马上要介绍的第二个问题 —— 学术界到底挖了多少个异象？

为什么说这个问题重要？因为这个基数决定了运气的多寡。这就好比，检验 100 个和 10000 个异象相比，万里挑一的肯定要比百里挑一的更显著。所以，只有知道学术界到底挖了多少异象，才有可能正确给出 t-statistic 的阈值，而这个问题比如何控制 false rejections 重要的多。

有的小伙伴可能会说 —— 不就那 300 来个吗，就是 Harvey, Liu, and Zhu (2016) 考虑的那些；或者 450 个左右，就是 Hou, Xue, and Zhang (2020) 复现的那些。答案并没有这么简单。其原因是，一个异象之所以被发表，显然因为它本身达到了传统意义上的显著性水平（如 2.0）。如果一个学者研究出来的异象不显著，那么他也不会针对它写篇论文，或者即便写了也不会被发表。令 P 代表被发表的异象的集合，R 代表被挖出来的异象的集合，由上述的论述可知 P 是 R 的一个子集。且我们可以合理的假设它们大约满足如下的关系：

由于 P 仅仅是 R 的子集（“下界”），使用 P 来进行 false rejections 控制只能低估了运气的成分，因此 Harvey, Liu, and Zhu (2016) 找到的 3.0 阈值只可能是真实 t-statistic 阈值的下限。

有了 R 的“下界”，再来看看“上界”。Chordia, Goyal, and Saretto (2020) 使用财务三大表中的指标，经过“无脑”加减乘除运算，构建了 2,393,641 个异象。令集合 E 代表这些异象，它就是 R 的上界。两百多万个异象，哇咔咔，但需要说明的是，这些只是通过“无脑”加减乘除得到的，这可以理解成从 econometrician（计量经济学家）的角度找到的异象个数。

那么，能不能用 E 当作异象集来控制 false rejections 呢？答案也是否定的。Chordia, Goyal, and Saretto (2020) 指出，和 econometrician 们不同，金融学教授那都是有 domain knowledge 的，显然不会胡乱找一个看着就不太可能预测收益率的变量构建异象。因此，金融学者们研究的异象肯定（远）小于 2,393,641 个，所以 R 是 E 的子集。综合上述讨论得到：

绕了一大圈似乎啥也没解决，还是不知道 R 有多大。别着急，确定 R 的统计特征、从而依据其特征控制 false rejections 计算 t-statistic 阈值就是 Chordia, Goyal, and Saretto (2020) 一文最大的亮点。而他们采用的方法则是 simulation。Simulation 的好处是 data generating process 是已知的，因此能够知道哪些 H_0 为真、哪些 H_0 为假，从而计算出正确的 t-statistic 阈值。

为了进行 simulation，就要有模型。该文假设股票收益率在时序上满足如下多因子模型：

其中 α_i 是模型无法解释的超额收益。此外，在所有能够构建异象的变量中，模型假设显著变量的概率为 π。对于该变量，simulation 中假设其在 t 期的取值满足以下模型：

式中 η 满足正态分布 N(0, σ^2)，是随机扰动。如果变量是真的异象（发生概率 π），则它对于股票 i 在 t 期的取值为 α_i + η_{it}。值得说明的是，simulation 中当然无从知道异象变量到底应该怎么取值，但既然真正的异象能够获得超额收益，那么异象变量的取值一定和个股的 α_i 相关（否则按 portfolio sort 排序就没法获得超额收益了），因此令 s_{it} = α_i + η_{it} 是合理的。如果变量是假的异象（发生概率 1 - π），则 s_{it} = η_{it} 是随机噪声。

除了关于收益率的模型和异象变量的模型外，simulation 中还有一个至关重要的参数 —— Ω。它代表了金融学者们挖出真正异象的能力。怎么理解呢？前面已经说了 π 是异象的概率，但这只不过是随机抽取的概率。对于金融学教授来说，因为有先验知识，因此他们获得异象的条件概率要高于非条件概率 π。这个参数 Ω 就是衡量金融学教授挖出异象的概率，这个概率为 Ωπ，即二者的乘积。

OK！现在有了模型，只要知道参数取值就可以跑仿真了。参数如何取值呢？对于收益率模型中的因子收益率、因子暴露以及超额收益，Chordia, Goyal, and Saretto (2020) 采用了真实美股市场数据的分布进行估计，而对于异象变量模型的参数 π、Ω 以及 σ，他们使用了校准。

既然要校准，就要给定 target quantities，用它们作为校准参数来逼近的对象。为了解释这些 target quantities，先介绍一个概念。如果某个 H_0 在单一检验下被拒绝了，但是在考虑了多重假设检验后没有被拒绝，则称它为 single, but not multiple（SnM）rejection。

通过控制 FDP，Chordia, Goyal, and Saretto (2020) 发现不带任何先验的计量经济学家集合 E 中，SnM 的比例为 97.9% —— 如此之高，说明不带金融学先验去挖异象确实不靠谱。回到 simulation，这个 SnM 值显然和无条件的异象概率 π 有关，因此它就是对 π 校准的 target quantity。

接下来如法炮制，对于发表的异象集合 P，它的 SnM 的比例为 27.0% —— 看来金融学教授们要靠谱得多。这个数值显然和异象的条件概率 Ωπ 有关。但是注意这个 SnM 是针对集合 P 的，它是被发表的异象，而 Ωπ 所代表的是学者们在研究中挖出显著异象的概率。因此，使用 SnM = 27.0% 来校准 Ωπ 的思路是正确的，但是必须带上 P 和 R 的关系，即 P = {s \in R, t ≥ 2.0}。

最后是随机扰动的波动 σ。为了校准它，Chordia, Goyal, and Saretto (2020) 选择了两个 target quantities。为了便于理解，在此介绍其中一个。由于 σ 控制随机扰动的波动，因此它直接影响着信噪比。该文采用下式来衡量信噪比：

其中分子是显著异象组合超额收益 α_s 绝对值的期望；分母是显著股票超额收益 α_i 绝对值的期望。该比值来自真实美股数据，大小为 0.12。

有了上述这些，Chordia, Goyal, and Saretto (2020) 通过全局优化算法求解，并平均了 1000 次 simulation 结果确定了 π、Ω 以及 σ 的取值。再次强调的是，有了这些取值，就相当于整个学者挖异象的 data generating process 是已知的了！利用这些参数，和前述的股票收益率和异象变量模型，他们又进行了 1000 次 simulation —— 这次是为了模拟 R 集合下（学者们挖掘异象的集合），当控制了 FDP 之后 t-statistic 应该是多少。

最后，Chordia, Goyal, and Saretto (2020) 发现，如果以 portfolio sort 的超额收益（时序回归，用多因子模型作为解释变量）为研究对象，其 t-statistic 阈值高达 3.8；如果以 Fama-MacBeth 回归斜率（即在控制了其他变量后异象的收益率）为研究对象，其 t-statistic 阈值高达 3.4。一般来说，比起 portfolio sort，Fama-MacBeth 回归更不容易受多重假设检验影响，因此其 t-statistic 阈值略低。但无论如何，这两个数值均高于 Harvey, Liu, and Zhu (2016) 提出的 3.0，符合预期。

以上这两个阈值就是 Chordia, Goyal, and Saretto (2020) 一文的核心结论。除此之外，该文还通过 simulation 计算了 false rejections 比例（即 F_1/R），高达 45.3%。

呼！我希望你没有 get lost！

02

截面研究新趋势

本节简要介绍本期 RFS 特刊中关于截面收益率研究的三个趋势（下图）。

本期一共收录 9 篇文章，每个趋势下三篇。第一个趋势是 extracting information from both the cross-section and time series。其实，用白话说，它的意思就是 portfolio sort vs cross-sectional regression。

从 Fama-French 三因子模型开始，用 portfolio sort 构建因子投资组合，计算其收益率作为因子便是多因子模型中采用的做法，无一例外。然而，越来越多的研究，包括 Fama 自己都发现，截面回归的纯因子组合似乎更能解释截面预期收益率的差异。因此，从这两个角度去理解因子就是第一个趋势。这个话题下的三篇文章是：

对于上面第一篇，《Which Beta (II)?》一文做过详细解读；而第二篇，[因子动物园] 的《对冲：获取更纯粹的 CP》一文进行了系统说明。第三篇嘛，还没看……不过排上号了。

第二个趋势是 replicating anomalies, multiple hypothesis testing, and transaction costs，包括如下三篇：

其中 Replicating anomalies 不用做太多介绍了，而本文重点梳理了其中第二篇。至于第三篇嘛，again，还没看……不过也排上号了。

最后一个趋势是 machine-learning tools，它关注如何将机器学习算法科学的应用在古老的实质资产定价之中。这个话题下包含的三篇文章为：

其中第一篇 Gu, Kelly, and Xiu (2020) 是最近一两年非常火的一篇论文。[因子动物园] 的《因子投资中的机器学习》一文对它进行了梳理。第二篇提出了一个 PCA estimator，在降维的同时保留主成分对截面收益率的预测能力。第三篇则提出了一个非参数的方法，从 62 个常见的收益率预测变量中找到 13 个真正有效的。今后会找机会介绍这些新的方法。

03

结语

本期 RFS 特刊在描述三大趋势的同时也给出了四个展望，不妨以它们作为本文的结尾：

1. 重视 multiple hypothesis testing 问题，形成科研中更好的研究流程，避免 publication bias，data snooping 以及 p-hacking。

2. 不同降维方法极大减少了因子的个数（通常不超过 10 个）。不过有意思的是，不同方法得到的因子可能差异很大，在这方面学术界需要寻求 common ground across methods。

3. 根据资产定价理论，SDF（随机折现因子）其实是 factors 的某种线性组合。因此只有 factors 有意义，SDF 才有意义。从这个意义上说，无论采用传统方法还是新的机器学习算法，都要重视因子的经济学含义。

4. 将源于预测股票收益率的这些新方法应用于金融学的其他领域，比如预测其他资产，或者用于评价基金经理以及公司决策等领域。

毫无疑问，这期 RFS 特刊十分过瘾。而我们也有理由相信，未来关于实证资产定价和因子投资的研究会更加精彩。

感谢阅读，预祝各位五一快乐。

参考文献

Chordia, T., A. Goyal, and A. Saretto (2020). Anomalies and false rejections. Review of Financial Studies 33(5), 2134 – 2179.

Daniel, K., L. Mota, S. Rottke, and T. Santos (2020). The cross-section of risk and returns. Review of Financial Studies 33(5), 1927 – 1979.

Fama, E. F. and K. R. French (2020). Comparing cross-section and time-series factor models. Review of Financial Studies 33(5), 1891 – 1926.

Gu, S., B. Kelly, and D. Xiu (2020). Empirical asset pricing via machine learning. Review of Financial Studies 33(5), 2223 – 2273.

Harvey, C. R., Y. Liu, and H. Zhu (2016). … and the cross-section of expected returns. Review of Financial Studies 29(1), 5 – 68.

Hou, K., C. Xue, and L. Zhang (2020). Replicating anomalies. Review of Financial Studies 33(5), 2019 – 2133.

Romano, J. P., A. M. Shaikh, and M. Wolf (2008). Formalized data snooping based on generalized error rates. Econometric Theory 24(2), 404 – 447.

Romano, J. P. and M. Wolf (2005). Stepwise multiple testing as formalized data snooping. Econometrica 73(4), 1237 – 1282.

Romano, J. P. and M. Wolf (2007). Control of generalized error rates in multiple testing. The Annals of Statistics 35(4), 1378 – 1408.

White, H. (2000). A reality check for data snooping. Econometrica 68(5), 1097 – 1126.

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川总写量化

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