XGBoost算法讲解和公式推导
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本文节选自《机器学习入门基础（微课版）》
10.5 XGBoost 算法
XGBoost 是 2014 年 2 月由华盛顿大学的博士生陈天奇发明的基于梯度提升算法(GBDT)的机器学习算法，其算法不但具有优良的学习效果，而且训练速度高效，在数据竞赛中大放异彩。
XGBoost 是大规模并行 Boosting Tree 的工具，它是性能和速度俱佳的开源 Boosting Tree 工具包，比常见的工具包快很多倍。XGBoost 和 GBDT 两者都是 Boosting 方法，除了工程实现、解决问题上的一些差异外，最大的不同就是目标函数的定义。
10.5.1 算法思想
XGBoost 算法原理主要是以下几个方面：
1.防止过拟合
机器学习算法的泛化误差可以分为偏差(Bias)和方差(Variance)两部分。偏差指的是算法的期望预测与真实预测之间的偏差程度，反应了模型本身的拟合能力；方差度量了同等大小的训练集的变动导致学习性能的变化，刻画了数据扰动所导致的影响。
如图 10-9 所示，随着机器学习的模型复杂度增加，偏差越来越小，但方差却越来越大，而当模型越简单时，模型的方差很小，偏差却往往越大，也就是说，高方差导致过拟合，而高偏差导致欠拟合。
XGBoost 有效解决了过拟合问题，对叶节点的权重进行了惩罚，防止过拟合，惩罚相当于添加了 正则项，即目标函数为：训练损失加上正则项。
2.采用二阶泰勒展开加快收敛
GBDT 的损失函数用了一阶收敛，用到了梯度下降，XGBoost 的方法是用牛顿法进行二阶收敛，即将损失函数做二阶泰勒展开，使用前两阶作为改进的残差。梯度下降法是用了目标函数的一阶偏导数，而牛顿法就是用用了目标函数的二阶偏导数，二阶偏导数考虑了梯度的变化趋势，所以牛顿法会更容易收敛。图 10-10 显示了牛顿法(左)和梯度下降法(右)的迭代路径，可以发现，左边的路径更符合最优下降路径。使用二阶收敛，这也是 XGBoost 加快收敛的原因。
3.树构造的分裂条件采用导数统计量
在寻找最佳分割点时，XGBoost 也实现了一种完全搜索式的精确的贪心算法(Exact Greedy Algorithm)。这种搜索算法会遍历一个特征上所有可能的分裂点，分别计算其损失减小量，然后选择最优的分裂点。根据结构分数的增益情况计算出来选择哪个特征的哪个分割点，某个特征的重要性，就是它在所有树中出现的次数之和。即增益(Gain)计算完了之后会选择一个增益最高的特征来分裂，然后这个特征的重要性加 1。
4.支持并行计算，可以采用多线程优化技术
XGBoost 的并行，并不是说每棵树可以并行训练，XGBoost 本质上仍然采用 boosting 思想，每棵树训练前需要等前面的树训练完成才能开始训练。
XGBoost 的并行，指的是特征维度的并行：在训练之前，每个特征按特征值对样本进行预排序，并存储为 Block 结构，在后面查找特征分割点时可以重复使用，而且特征已经被存储为一个个 block 结构，那么在寻找每个特征的最佳分割点时，可以利用多线程对每个 block 并行计算。
10.5.2 XGBoost 算法推导
XGBoost 中最主要的基学习器为 CART(分类与回归树)，这里定义 是叶子的权重， 是将每个节点分配给叶子的函数， 是树的数量，并定义 为一个常数。假设前 步迭代优化得到的模型为 ，在第 步中，待求参数为 ，则第 步的目标函数为：
公式(10.14)第一部分 是预测值 和目标真实值 之间的训练误差，第二部分 是每棵树的复杂度之和。
根据泰勒展开公式，使用了二阶泰勒展开：
把 看成 则， 就可以看成 ，则：
在上面公式中：
为 的一阶偏导数：
为 的二阶偏导数：
则公式(10.14)可以转化为：
在这里，我们首先改进一棵树的定义 如下：
在 XGBoost 中，我们将复杂度定义为：
则目标函数可以定义为：
很明显， 是一个常数，可以用 替代，对于目标函数 无影响，则目标函数可以转换为：
其中定义 是分配给第 个叶子的数据点的索引的集合。因为在同一叶子上，所有数据点的分数相同，所以在第二行中，我们更改了总和的索引。因此公式等价于：
即：
我们可以通过定义 ， 来进一步压缩表达式，则：
对 求偏导，如果有一个给定的树的结构 ，那么在上式达到最小的情况下(即导数为 0)，得到：
则：
并且得到相对应的最优目标函数值：
以图 10-11 为例：
根据已知的数据，得到相应的参数如图 10-12：
图 10-12 的数据，，根据公式(10.30)，则：
分数越小，代表这个树的结构越好。
在寻找最佳分割点时，使用一种完全搜索式的精确贪心算法(Exact Greedy Algorithm)。这种搜索算法会遍历一个特征上所有可能的分裂点，分别计算其损失减小量，然后选择最优的分裂点。精确贪心算法的流程见算法 10.1。
| 算法 10.1 精确贪心算法 |
|---|
算法思路：由于树的结构是未知的，而且也不可能去遍历所有的树结构。因此，XGBoost 采用贪婪算法来分裂节点，从根节点开始，遍历所有属性，遍历属性的可能取值，计算复杂度是：决策树叶子节点数减去 1。根据定义 ，记分到左、右子树的样本集为 、，，则分裂该节点导致的损失减少值为：
即：
其中： 为分割后左子树的分数， 为分割后右子树的分数， 为未分割的树的分数， 为新叶子的正则化项，即加入新叶子节点引入的复杂度代价，我们希望找到一个属性以及其对应的大小，使得 取值最大。
10.5.3 XGBoost 算法总结
XGBoost 是算法竞赛中最热门的算法之一，它将 GBDT 的优化走向了一个极致：
(1) XGBoost 生成 CART 树考虑了树的复杂度，GDBT 未考虑，GDBT 在树的剪枝步骤中考虑了树的复杂度。
(2) XGBoost 是拟合上一轮损失函数的二阶导展开，GDBT 是拟合上一轮损失函数的一阶导展开，因此，XGBoost 的准确性更高，且满足相同的训练效果，需要的迭代次数更少。
(3) XGBoost 与 GDBT 都是逐次迭代来提高模型性能，但是 XGBoost 在选取最佳分割点时可以开启多线程进行，大大提高了运行速度。当然，后续微软又出了 LightGBM，在内存占用和运行速度上又做了不少优化，但是从算法本身来说，优化点则并没有比 XGBoost 多。